Chứng minh rằng phép dời hình biến một mặt cầu thành một mặt cầu có cùng bán kính.. Bài 11 trang 7 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Bài 2. Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện
Chứng minh rằng phép dời hình biến một mặt cầu thành một mặt cầu có cùng bán kính.
Giả sử \(\left( S \right)\) là mặt cầu tâm O bán kính R và f là phép dời hình bất kì.
Gọi \({O’} = f\left( O \right)\) và \(\left( {{S’}} \right)\) là mặt cầu tâm O’ bán kính R. Nếu \(M \in \left( S \right)\) và \(f\left( M \right) = {M’}\) thì \({O’}{M’} = OM = R\) nên \({M’} \in \left( {{S’}} \right)\).
Ngược lại, nếu \({M’} \in \left( {{S’}} \right)\) và \({M’} = f\left( M \right)\) thì \(OM = {O’}{M’} = R\) nên \(M \in \left( S \right)\).
Như vậy, phép dời hình f biến mặt cầu \(\left( S \right)\) thành mặt cầu \(\left( {{S’}} \right)\) có cùng bán kính.