Bài 14 trang 7 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao: Cho tứ diện đều ABCD...

Cho tứ diện đều ABCD và phép dời hình f biến ABCD thành chính nó, nghĩa là biến mỗi đỉnh của tứ diện thành một đỉnh của tứ diện. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho $M = f\left( M \right)$ trong các trường hợp sau đây:

$\eqalign{  & a)f\left( A \right) = B,f\left( B \right) = C,f\left( C \right) = A;  \cr  & b)f\left( A \right) = B,f\left( B \right) = A,f\left( C \right) = D;  \cr  & c)f\left( A \right) = B,f\left( B \right) = C,f\left( C \right) = D. \cr}$

Theo giả thiết $f\left( A \right) = B$ và $f\left( B \right) = C,f\left( C \right) = A.$ Bởi vậy $f\left( M \right) = M$ khi và chỉ khi $MA = MB = MC.$ Suy ra tập hợp các điểm $M$ là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

b) Theo giả thiết $f\left( A \right) = B$, $f\left( B \right) = C,f\left( C \right) = D$. Bởi vậy $f\left( M \right) = M$ khi và chỉ khi $MA = MB$ và $MC = MD,$ tức là M đồng thời nằm trên hai mặt phẳng trung trực của AB và CD. Suy ra tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và CD.

c) Theo giả thiết $f\left( A \right) = B$,$f\left( C \right) = B,f\left( C \right) = A$. Bởi vậy $f\left( M \right) = M$ khi và chỉ khi  $MA = MB = MC=MD$.

Suy ra tập hợp các điểm M gồm một điểm duy nhất là trọng tâm của tứ diện ABCD.