Bài 13 trang 7 Sách bài tập Hình học 12 Nâng cao: Cho tam giác ABC...

Cho tam giác ABC và phép dời hình f biến tam giác ABC thành chính nó với $f\left( A \right) = A,f\left( B \right) = B,f\left( C \right) = C$. Chứng minh rằng f biến mọi điểm M của $mp\left( {ABC} \right)$thành chính nó, tức là $f\left( M \right) = M$.

Ta có $f\left( A \right) = A,f\left( B \right) = B,f\left( C \right) = C$ nên $f$ biến $mp\left( {ABC} \right)$ thành $mp\left( {ABC} \right)$. Bởi vậy, nếu M thuộc $mp\left( {ABC} \right)$ và $f(M)=M’$ thì M’ thuộc mp(ABC) và $AM = A{M’},BM = B{M’},CM = C{M’}$.

Nếu ${M’}$ và $M$ phân biệt thì ba điểm $A,B,C$ cùng thuộc đường thẳng trung trực của đoạn thẳng $M{M’}$ (xét trên $mp\left( {ABC} \right)$), trái với giả thiết $ABC$ là tam giác.

Vậy $f\left( M \right) = M.$