Advertisements (Quảng cáo)
Xét hình lăng trụ tam giác đều với chiều cao h, nội tiếp một mặt cầu bán kính R (h < 2R) (tức sáu đỉnh của hình lăng trụ nằm trên mặt cầu đó).
a) Tính cạnh đáy của hình lăng trụ.
b) Tính thể tích của khối lăng trụ.
c) Tính h theo R để mỗi mặt bên của hình lăng trụ là hình vuông.
(h.107).
a) Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ, I là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó ta có : \(OA = OB = OC = R,OI = {1 \over 2}h.\) Tam giác OAI vuông tại I nên\(A{I^2} = O{A^2} – {\rm{ }}O{I^2} = {\rm{ }}{R^2}\; – {{{h^2}} \over 4}.\)
IA là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC nên
Advertisements (Quảng cáo)
\(AB = IA\sqrt 3 = \sqrt {3\left( {{R^2} – {{{h^2}} \over 4}} \right)} .\)
Vậy cạnh đáy của hình lăng trụ bằng
\({1 \over 2}\sqrt {3\left( {4{R^2} – {h^2}} \right)} .\)
b) Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là :
\(V = {S_{ABC}}.h = {{A{B^2}\sqrt 3 } \over 4}h = {{3\sqrt 3 } \over {16}}\left( {4{R^2} – {h^2}} \right)h.\)
c) Mỗi mặt bên của hình lăng trụ là hình vuông khi và chỉ khi AB = h, tức \({1 \over 2}\sqrt {3\left( {4{R^2} – {h^2}} \right)} = h \Leftrightarrow h = \sqrt {{{12} \over 7}} R\) (để ý rằng \(\sqrt {{{12} \over 7}} \)< 2).