Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a ; mp(SBC)⊥mp(ABC) và SA = SB = a ;
1. Chứng minh rằng SBC là tam giác vuông.
2. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết SC=3a2.
(h.l 12a)
1. Gọi I là trung điểm của BC, ta có AI ⊥ BC. Do (SBC) ⊥ (ABC) nên AI ⊥ mp(SBC), suy ra ΔSAI vuông tại I.
Các tam giác vuông SAI, BAI có IA chung, AB = AS, do đó IB = IS, mặt khác IB = IC, suy ra tam giác SBC vuông ở S.
2. Vì IB = IC = IS và AI ⊥ (SBC) nên tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thuộc đường thẳng AI, suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cân ABC và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi J là giao điểm thứ hai của AI (h.l 12b) và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì AJ = 2R và AB2 = AI.AJ hay a2 = AI.2R
⇒R=a22AI. (1)
Mặt khác
BC2=SB2+SC2=a2+9a24=13a24
Và AI2=AB2−BI2=a2−BC24
=a2−13a216=3a216⇒AI=a√34. (2)
Thay (2) vào (1) ta có R=2a√3.
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là 43π8a33√3=32πa39√3.