Câu 2.110 trang 88 SBT Giải Tích Nâng cao lớp 12: Giải các phương trình sau:...

Giải các phương trình sau:

                                $2{\log _3}\cot x = {\log _2}\cos x$

Giải

$x = {\pi  \over 3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

Hướng dẫn: Điều kiện ${\rm{cos }}x > 0,\sin x > 0$

Đặt ${\log _2}\cos x = t = {\log _3}{\cot ^2}x$, ta có $\left\{ \matrix{{\cot ^2}x = {3^t} \hfill \cr{\rm{cos }}x = {2^t} \hfill \cr}  \right.$

Do ${\cot ^2}x = {{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \over {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}$ nên dẫn đến ${{{{\left( {{2^t}} \right)}^2}} \over {1 - {{\left( {{2^t}} \right)}^2}}} = {3^t}$ hay ${4^t} + {12^t} = {3^t}$

Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ, ta tìm được $t =  - 1$

Do đó ${\rm{cos }}x = {1 \over 2} \Leftrightarrow x =  \pm {\pi  \over 3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

Với điều kiện $\cos x > 0,\sin x > 0$, chỉ có nghiệm  $x = {\pi  \over 3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$ là thích hợp.