Giải và biện luận phương trình sau:
a) \({\log _3}x - {\log _3}\left( {x - 2} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}m;\)
b) \({4^{\sin x}} + {2^{1 + \sin x}} = m\)
Giải
a) Điều kiện \(x > 2,x > 0\). Đưa về tìm nghiệm lớn hơn 2 của phương trình \(x = \left( {x - 2} \right){m^2}\) hay \(\left( {1 - {m^2}} \right)x = - 2{m^2}\)
Vậy
+) \(m > 1\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {{2{m^2}} \over {{m^2} - 1}}\)
+) \(m \le 1\) thì phương trình vô nghiệm.
b) Đặt \({2^{\sin x}} = y\), vì \( - 1 \le \sin x \le 1\) nên \({1 \over 2} \le y \le 2\)
Ta có phương trình: \({y^2} + 2y - m = 0\) (1)
Tính được: \(\Delta ‘ = 1 + m\)
- Với \(m < - 1\) thì (1) vô nghiệm.
- Với \(m = - 1\) thì (1) có nghiệm kép \(y = - 1\) (loại)
Advertisements (Quảng cáo)
- Với \(m > - 1\) thì (1) có hai nghiệm phân biệt \({y_1} = - 1 + \sqrt {m + 1} \) và \({y_2} = - 1 - \sqrt {m + 1} \) (loại)
\({y_1} = - 1 + \sqrt {m + 1} \) thỏa mãn điều kiện khi
\(\left\{ \matrix{- 1 + \sqrt {m + 1} \ge {1 \over 2} \hfill \cr- 1 + \sqrt {m + 1} \le 2 \hfill \cr} \right.\) tức là \(\left\{ \matrix{m \ge {5 \over 4} \hfill \cr m \le 8 \hfill \cr} \right.\)
Khi đó
\({2^{\sin x}} = - 1 + \sqrt {m + 1} \)
\(\Leftrightarrow \sin x = {\log _2}\left( { - 1 + \sqrt {m + 1} } \right) = \sin \varphi\)
\(\left( { - {\pi \over 2} \le \varphi \le {\pi \over 2}} \right)\)
Ta có \(x = \varphi + k2\pi ;x = \pi - \varphi + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Từ đó ta đi đến kết luận
+) Với \(m < {5 \over 4}\) hoặc \(m > 8\): Phương trình vô nghiệm.
+) Với \(m = {5 \over 4}\): Phương trình có nghiệm \(x = - {\pi \over 2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
+) Với \(m = 8\): Phương trình có nghiệm \(x = {\pi \over 2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
+) Với \({5 \over 4} < m < 8\): Phương trình có nghiệm \(x = \varphi + k2\pi ;x = \pi - \varphi + k2\pi \) với \(\varphi = {\log _2}\left( { - 1 + \sqrt {m + 1} } \right),k \in Z\)