Câu 2.103 trang 87 SBT Giải Tích lớp 12 nâng cao: Giải các phương trình sau:...

Giải các phương trình sau:

a) ${3^{2x - 1}} + {3^{x - 1}}(3x - 7) - x + 2 = 0$

b) ${25^{5- x}} - {2.5^{5 - x}}(x - 2) + 3 - 2x = 0.$

Giải

a) $x = 0$ và $x = 1$

Đặt $t = {3^{x - 1}}$  ( với  t > 0 ), ta có $3{t^2} + (3x - 7)t + 2 - x = 0$    (1)

Coi (1) là phương trình bậc nhất hai ẩn t, ta được $t = {1 \over 3}$ và $t =  - x + 2$

$\bullet$ Với $t = {1 \over 3}$ thì ${3^{x - 1}} = {3^{ - 1}}$, do đó x = 0.

$\bullet$ Với $t =  - x + 2$ thì ${3^{x - 1}} =  - x + 2$.

Hàm số $f(x) = {3^{x - 1}}$ luôn đồng biến và $f(1) = 1$.

Hàm số $g(x) =  - x + 2$ luôn nghịch biến và $g(1) = 1$ .

Do đó $x = 1$ là nghiệm duy nhất của ${3^{x - 1}} =  - x + 2$.

b) Đặt $t = {5^{5 - x}}$ (với t > 0), dẫn đến phương trình ${t^2} - 2t(x - 2) + 3 - 2x = 0$, ta được $t=-1$ và $t=2x-3$

Lập luận tương tự ta được $x=4$