Advertisements (Quảng cáo)
Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a) \({16^{x + 1}} + {4^{x – 1}} – 5m = 0;\)
b) \(2{\log _2}\left( {x + 4} \right) = {\log _2}\left( {mx} \right).\)
Giải
a) Đặt \({4^x} = t(t > 0)\). Bài toán trở thành:
Tìm m để phương trình \(16{t^2} + {t \over 4} – 5m = 0\) (1) có nghiệm dương duy nhất.
Điều kiện để (1) có nghiệm là \(\Delta = {1 \over {16}} + 320m \ge0\) hay \(m\ge – {1 \over {5120}}\) . Lại có \({t_1} + {t_2} = – {1 \over {64}};{t_1}{t_2} = – {{5m} \over {16}}\) .
Nên (1) có nghiệm duy nhất khi \( – {{5m} \over {16}} < 0\), tức là m > 0.
b) Bài toán quy về tìm m để hệ
\(\left\{ \matrix{{(x + 4)^2} = mx \hfill \cr x + 4 > 0 \hfill \cr} \right.\)
có nghiệm duy nhất
hay
\(\left\{ \matrix{{x^2} + (8 – m)x + 16 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr x > – 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2\right) \hfill \cr} \right.\) có nghiệm duy nhất
tức là (1) có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x > – 4\).
Phương trình (1) có nghiệm khi\(\Delta = {m^2} – 16m \ge 0\) hay \(m \le 0\) hoặc \(m \ge 16\) .
Xét cả trường hợp :
+) \(m = 0\) thì (1) có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = {{0 – 8} \over 2} = – 4\) ( không thỏa mãn \(x > – 4\) ).
+) \(m = 16\) thì (1) có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = {{16 – 8} \over 2} = 4\) ( thỏa mãn \(x > – 4\) ).
+) \(m < 0\) hoặc \(m > 16\) thì (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\) .
Ta có : \({x_1} < – 4 < {x_2} \Leftrightarrow ({x_1} + 4)({x_2} + 4) < 0 \)
\(\Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 4({x_1} + {x_2}) + 16 < 0\) .
Theo hệ thức . Vi-et ta có \({x_1}{x_2} = 16\) và \({x_1} + {x_2} = m – 8\).
Dẫn theo \(16 + 4(m – 8) + 16 < 0 \Leftrightarrow m < 0\) .