Bài 2.46 trang 133 Sách bài tập Giải tích 12: Cho a + b = c với a > 0, b > 0....

Cho a + b = c với a > 0, b > 0.

a) Chứng minh rằng ${a^m} + {b^m} < {c^m}$  , nếu m > 1.

b) Chứng minh rằng  ${a^m} + {b^m} < {c^m}$   , nếu 0 < m < 1

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có: ${a^m} + {b^m} < {c^m} \Leftrightarrow {(\frac{a}{c})^m} + {(\frac{b}{c})^m} < 1$  (1)

Theo đề bài  a + b = c, a > 0, b > 0 nên $0 < \frac{a}{c} < 1,0 < \frac{b}{c} < 1$ .

Suy ra với m > 1 thì ${(\frac{a}{c})^m} < {(\frac{a}{c})^1};{(\frac{b}{c})^m} < {(\frac{b}{c})^1}$

Từ đó ta có: ${(\frac{a}{c})^m} + {(\frac{b}{c})^m} < \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = 1$

Vậy  (1) đúng và ta có điều phải chứng minh.

b) Chứng minh tương tự.