Advertisements (Quảng cáo)
Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\cos 2xdx} \)
b) \(\int\limits_0^{\ln 2} {x{e^{ – 2x}}dx} \)
c) \(\int\limits_0^1 {\ln (2x + 1)dx} \)
d) \(\int\limits_2^3 {{\rm{[}}\ln (x – 1) – \ln (x + 1){\rm{]}}dx} \)
e) \(\int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(1 + x – {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx} \)
g) \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx} \)
h) \(\int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}} dx\)
i) \(\int\limits_1^e {{{1 + x\ln x} \over x}} {e^x}dx\)
Hướng dẫn làm bài
a) \( – {1 \over 2}\)
b) \({1 \over 4}({3 \over 4} – {{\ln 2} \over 2})\)
Advertisements (Quảng cáo)
c) \({3 \over 2}\ln 3 – 1\)
d) \(3\ln 3 – 6\ln 2\)
e) \({3 \over 2}{e^{{5 \over 2}}}\) .
HD: \(\int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(1 + x – {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx = } \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {{e^{x + {1 \over x}}}} dx + \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(x – {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx} \)
Tính tích phân từng phần: \(\int\limits_{{1 \over 2}}^2 {{e^{x + {1 \over x}}}dx = x{e^{x + {1 \over x}}}\left| {\matrix{2 \cr {{1 \over 2}} \cr} } \right.} – \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(x – {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx} \)
g) \({\pi \over 6} – {2 \over 9}\)
HD: Đặt \(u = x,dv = \cos x{\sin ^2}xdx\)
h) \({e \over 2} – 1\). HD: \(\int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}} dx = \int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {1 + x}}dx} – \int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}dx} \) và tính tích phân từng phần :
\(\int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}} dx = {{ – {e^x}} \over {1 + x}}\left| {\matrix{
1 \cr 0 \cr} + } \right.\int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {1 + x}}dx} \)
i) ee . HD: Tương tự câu g)