Bài 3.12 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12: Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích...

Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:

a)  $\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos 2xdx}$

b) $\int\limits_0^{\ln 2} {x{e^{ - 2x}}dx}$

c)   $\int\limits_0^1 {\ln (2x + 1)dx}$                                                               

d) $\int\limits_2^3 {{\rm{[}}\ln (x - 1) - \ln (x + 1){\rm{]}}dx}$

e) $\int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(1 + x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx}$

g) $\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx}$

h) $\int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}} dx$

i) $\int\limits_1^e {{{1 + x\ln x} \over x}} {e^x}dx$

Hướng dẫn làm bài

a)  $- {1 \over 2}$                  

b)  ${1 \over 4}({3 \over 4} - {{\ln 2} \over 2})$                           

c) ${3 \over 2}\ln 3 - 1$                   

d) $3\ln 3 - 6\ln 2$

e) ${3 \over 2}{e^{{5 \over 2}}}$ .

HD: $\int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(1 + x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx = } \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {{e^{x + {1 \over x}}}} dx + \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx}$

Tính tích phân từng phần: $\int\limits_{{1 \over 2}}^2 {{e^{x + {1 \over x}}}dx = x{e^{x + {1 \over x}}}\left| {\matrix{2 \cr {{1 \over 2}} \cr} } \right.} - \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx}$

g)  ${\pi  \over 6} - {2 \over 9}$ 

HD: Đặt  $u = x,dv = \cos x{\sin ^2}xdx$

h) ${e \over 2} - 1$. HD:  $\int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}} dx = \int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {1 + x}}dx}  - \int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}dx}$ và tính tích phân từng phần : 

$\int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}} dx = {{ - {e^x}} \over {1 + x}}\left| {\matrix{ 1 \cr 0 \cr} + } \right.\int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {1 + x}}dx}$

i) e^e  . HD: Tương tự câu g)