Bài 3.14 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12: Chứng minh rằng:...

Chứng minh rằng: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \int\limits_0^1 {{x^n}\sin \pi xdx = 0}$.

Hướng dẫn làm bài

 Với $x \in {\rm{[}}0;1]$ , ta có  $0 \le {x^n}\sin \pi x \le {x^n}$ . Do đó:

                      $0 \le \int\limits_0^1 {{x^n}\sin \pi xdx}  \le \int\limits_0^1 {{x^n}dx = {1 \over {n + 1}}}$

Áp dụng quy tắc chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức, ta được điều phải chứng minh.