Đặt \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^n}xdx} ,n \in {N^*}\)
a) Chứng minh rằng \({I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}},n > 2\)
b) Tính I3 và I5.
Hướng dẫn làm bài
a) Xét với n > 2, ta có: \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 1}}x.\sin xdx} \)
Dùng tích phân từng phần với và , ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 1}}x\sin xdx}\)
\({= - } \cos x{\sin ^{n - 1}}x\left| {\matrix{{{\pi \over 2}} \cr 0 \cr} } \right. + (n - 1)\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 2}}x{{\cos }^2}xdx} \)
\( = (n - 1)\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {({{\sin }^{n - 2}}x - {{\sin }^n}x)dx} \)
\(= (n - 1){I_{n - 2}} - (n - 1){I_n}\)
Vậy \({I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}}\)
b) \({I_3} = {2 \over 3},{I_5} = {8 \over {15}}\)