Advertisements (Quảng cáo)
Đặt \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^n}xdx} ,n \in {N^*}\)
a) Chứng minh rằng \({I_n} = {{n – 1} \over n}{I_{n – 2}},n > 2\)
b) Tính I3 và I5.
Hướng dẫn làm bài
a) Xét với n > 2, ta có: \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n – 1}}x.\sin xdx} \)
Dùng tích phân từng phần với và , ta có:
\({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n – 1}}x\sin xdx}\)
Advertisements (Quảng cáo)
\({= – } \cos x{\sin ^{n – 1}}x\left| {\matrix{{{\pi \over 2}} \cr 0 \cr} } \right. + (n – 1)\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n – 2}}x{{\cos }^2}xdx} \)
\( = (n – 1)\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {({{\sin }^{n – 2}}x – {{\sin }^n}x)dx} \)
\(= (n – 1){I_{n – 2}} – (n – 1){I_n}\)
Vậy \({I_n} = {{n – 1} \over n}{I_{n – 2}}\)
b) \({I_3} = {2 \over 3},{I_5} = {8 \over {15}}\)