Bài 3.18 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12: Tính I3 và I5....

Đặt  ${I_n} = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^n}xdx} ,n \in {N^*}$

a) Chứng minh rằng  ${I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}},n > 2$

b) Tính I₃ và I₅.

Hướng dẫn làm bài

a) Xét với n > 2, ta có:  ${I_n} = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^{n - 1}}x.\sin xdx}$

Dùng tích phân từng phần với   và  , ta có:

${I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 1}}x\sin xdx}$

${= - } \cos x{\sin ^{n - 1}}x\left| {\matrix{{{\pi \over 2}} \cr 0 \cr} } \right. + (n - 1)\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 2}}x{{\cos }^2}xdx}$

$= (n - 1)\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {({{\sin }^{n - 2}}x - {{\sin }^n}x)dx}$

$=  (n - 1){I_{n - 2}} - (n - 1){I_n}$

Vậy ${I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}}$

b) ${I_3} = {2 \over 3},{I_5} = {8 \over {15}}$