Bài 3.19 trang 179 sách bài tập - Giải tích 12: Chứng minh rằng:...

Đặt ${I_{m,n}} = \int\limits_0^1 {{x^m}{{(1 - x)}^n}} dx,m,n \in {N^*}$. Chứng minh rằng:${I_{m,n}} = {n \over {m + 1}}{I_{m + 1,n - 1}},m > 0,n > 1$

 Từ đó tính I_1,2 và I_1,3 .

Hướng dẫn làm bài

Dùng tích phân từng phần với $u = {(1 - x)^n},dv = {x^m}dx$ , ta được:

${I_{m,n}} = {{{x^{m + 1}}} \over {m + 1}}{(1 - x)^n}\left| {\matrix{1 \cr 0 \cr} } \right. + {n \over {m + 1}}\int\limits_0^1 {{x^{m + 1}}{{(1 - x)}^{n - 1}}dx}$

Vậy ${I_{m,n}} = {n \over {m + 1}}\int\limits_0^1 {{x^{m + 1}}} {(1 - x)^{n - 1}}dx$

$= {n \over {m + 1}}{I_{m + 1,n - 1}},n > 1,m > 0$ .

${I_{1,2}} = {1 \over {12}}$  và ${I_{1,3}} = {1 \over {20}}$