Bài 3.5 trang 171 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12: Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy...

Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) $\int {(1 - 2x){e^x}} dx$                                           

b) $\int {x{e^{ - x}}dx}$

c) $\int {x\ln (1 - x)dx}$                                         

d) $\int {x{{\sin }^2}xdx}$

e) $\int {\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} } )dx$                         

g) $\int {\sqrt x {{\ln }^2}xdx}$

h) $\int {x\ln {{1 + x} \over {1 - x}}dx}$

Hướng dẫn làm bài

a) $(3 - 2x){e^x} + C$                                                         

b) $- (1 + x){e^{ - x}} + C$

c) ${{{x^2}} \over 2}\ln (1 - x) - {1 \over 2}\ln (1 - x) - {1 \over 4}{(1 + x)^2} + C$.

d)  ${{{x^2}} \over 4} - {x \over 4}\sin 2x - {1 \over 8}\cos 2x + C$   

HD: Đặt  u = x, dv = sin²xdx

e) $x\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} ) - \sqrt {1 + {x^2}}  + C$   .

HD: Đặt $u = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )$   và dv = dx

g) ${2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}({(\ln x)^2} - {4 \over 3}\ln x + {8 \over 9}) + C$   

HD: Đặt  $u = {\ln ^2}x;dv = \sqrt x dx$

h) $x - {{1 - {x^2}} \over 2}\ln {{1 + x} \over {1 - x}} + C$           

HD: $u = \ln {{1 + x} \over {1 - x}},dv = xdx$