Một đồng hồ quả lắc đếm giây (có chu kì T = 2 s), quả lắc được coi như là một con lắc đơn với dây treo và vật nặng làm bằng đồng có khối lượng riêng là \(\rho = 8900\,kg/{m^3}\) và hệ số nợ dài là \(\alpha = {17.10^{ - 6}}\) độ \(^{ - 1}\) .
Giả sử đồng hồ chạy đúng trong chân không, ở nhiệt độ \({20^0}C\) và tại một nơi có gia tốc trọng trường \(g = 9,813\,m/{s^2}.\)
a) Tính độ dài l của dây treo ở \({20^0}C\).
b) Trong khí quyển ở \({20^0}C\) thì đồng hồ chạy thế nào ?
c) Trong khí quyển ở \({30^0}C\) thì đồng hồ chạy thế nào ?
d) Đưa đồng hồ đến một nơi có gia tốc trọng trường là \(g = 9,809\,m/{s^2}\) thì đồng hờ chạy thế nào trong chân không và ở \({20^0}C\)?
Biết khối lượng riêng của không khí trong khí quyển là \({\rho _{kk}} = 1,3\,kg/{m^3}.\) Bỏ qua ảnh hưởng của lực cản không khí đến chu kì dao động của con lắc.
Công thức cho chu kì T là: \(T = 2\pi \sqrt {{l \over g}} \)
a) Từ đó suy ra:
\(l = {{g{T^2}} \over {4{\pi ^2}}} = {{9,813.4} \over {4.{{\left( {3,141} \right)}^2}}} \approx 0,995m\)
b) Trong khí quyển, con lắc chịu tác dụng của lực đẩy Ác-si-mét của không khí bằng \({m \over \rho }{\rho _{kk}}g\). Lực đẩy làm giảm trọng lượng của con lắc và trọng lượng của nó chỉ còn là:
\(mg - {m \over \rho }{\rho _{kk}}g = mg\left( {1 - {{{\rho _{kk}}} \over \rho }} \right)\)
Như vậy, coi như con lắc chịu tác dụng của trọng trường biểu kiến có gia tốc:
\(g’ = g\left( {1 - {{{\rho _{kk}}} \over \rho }} \right)\)
\({{{\rho _{kk}}} \over \rho } = {{1,3} \over {8900}} < < 1\) , kí hiệu \({{{\rho _{kk}}} \over \rho } = \varepsilon \)
Chu kì dao động T của con lắc trong khí quyển ở \({20^o}\) là:
\(T’ = 2\pi \sqrt {{l \over g}} = T\sqrt {{g \over {g’}}} = T\sqrt {{1 \over {1 - \varepsilon }}} \)
Với \(\varepsilon < < 1,\) có thể dùng những công thức gần đúng:
\({1 \over {1 - \varepsilon }} \approx 1 + \varepsilon \) và \(\sqrt {1 + \varepsilon } = 1 + {\varepsilon \over 2}\)
Cuối cùng sẽ có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{ & \sqrt {{g \over {g’}}} \approx 1 + {\varepsilon \over 2} = 1,000073 \cr & T’ \approx T\left( {1 + {\varepsilon \over 2}} \right) = 2\left( {1 + {{13} \over {2.89000}}} \right)\cr&\;\;\;\;\;\, = 2,000146s \cr} \)
Chu kì tăng, tức là số giây mà đồng hồ chỉ trong một ngày giảm: đồng hồ chạy chậm đi.
1 ngày đêm = 24 giờ = 24.3600 s = 86400 s
Với chu kì dao động của quả lắc là T, trong một ngày đêm đồng hồ chỉ:
\({{86400} \over {T’}}.2 = {{86400.2} \over {2,000146}} = {{86400} \over {1,000073}} = 86393,7s\)
Như vậy, trong một ngày đêm đồng hồ chạy chậm đi là: 86400 – 86392,7 = 6,3 s
c) Gọi \({l_1}\) là chiều dài của con lắc ở \({30^o}C\), ta có:
\(\sqrt {{{{l_1}} \over l}} = \sqrt {{{1 + 30\alpha } \over {1 + 20\alpha }}} \approx \sqrt {1 + 30\alpha - 20\alpha } \approx \sqrt {1 + 10\alpha }\)
\( \approx 1 + 5\alpha = 1,000085\)
Chu kì \({T_1}\) ở nhiệt độ \({30^o}C\) là:
\({T_1} = 2\pi \sqrt {{{{l_1}} \over {g’}}} = 2\pi \sqrt {{l \over g}.{{{l_1}} \over l}.{g \over {g’}}} = T\sqrt {{{{l_1}} \over l}.{g \over {g’}}} \)
\(= T\left( {1 + 5\alpha } \right)\left( {1 + 0,000073} \right)\)
Áp dụng công thức gần đúng:
\(\left( {1 + {\varepsilon _1}} \right)\left( {1 + {\varepsilon _2}} \right) \approx 1 + {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2}\)
Suy ra: \({T_1} = T\left( {1 + 0,000085 + 0,000073} \right) \)
\(= 2.1,000158 = 2,000316s\)
Đồng hồ chạy chậm đi, trong một ngày đêm là:
\({{86400} \over {{T_1}}}.2 = {{86400} \over {1,000158}} = 86386,35s\)
Tức là chậm đi 86400 – 86386,35 = 13,65 giây trong 1 ngày đêm.
d) Đồng hồ chạy chậm đi 17,6 s trong 1 ngày đêm.