Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y=x3+x−2
b) y=2x3+x2−12x−3
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y’, xét dấu y’, xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các cực trị của đồ thị hàm số (nếu có).
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
a) y=x3+x−2
Tập xác định: D=R
- Chiều biến thiên:
y′=3x2+1>0∀x∈R nên hàm số đồng biến trên R
- Cực trị:
Advertisements (Quảng cáo)
Hàm số không có cực trị
- Các giới hạn tại vô cực:
lim; \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({x^3} + x - 2) = + \infty
- Bảng biến thiên:
Khi x = 0 thì y = -2 nên (0; -2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: y = 0 \Leftrightarrow {x^3} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0)
b) y = 2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3
Tập xác định: D = \mathbb{R}
- Chiều biến thiên:
y’ = 6{x^2} + 2x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\x = \frac{1}{6}\end{array} \right.
Trên các khoảng ( - \infty ; - \frac{1}{2}), (\frac{1}{6}; + \infty ) thì y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng ( - \frac{1}{2}; \frac{1}{6}) thì y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = - \frac{1}{2} và {y_{cd}} = - \frac{{11}}{4}
Hàm số đạt cực tiểu tại x = \frac{1}{6} và {y_{ct}} = - \frac{{329}}{{108}}
- Các giới hạn tại vô cực:
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3) = - \infty ; \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3) = + \infty
- Bảng biến thiên:
Khi x = 0 thì y = -3 nên (0; -3) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: y = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1,06
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1,06; 0)