Bài 8 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Chứng minh các bất đẳng thức sau:...

Bài 8. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) $\sin x < x$ với mọi $x > 0,\sin x > x$ với mọi $x < 0$

b) $\cos x > 1 - {{{x^2}} \over 2}$ với mọi $x \ne 0$

c) $\sin x > x - {{{x^3}} \over 6}$ với mọi $x > 0$; $\sin x < x - {{{x^3}} \over 6}$ với mọi $x<0$.

a) Hàm số $f\left( x \right) = x - \sin x$ liên tục trên nửa khoảng $\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)$ và có đạo hàm $f’\left( x \right) = 1 - \cos x > 0$ với mọi $x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$. Do đó hàm số đồng biến trên $\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)$, từ đó với mọi $x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$ ta có:

$f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow x - \sin x > 0\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$. Với $x \ge {\pi  \over 2}$ thì $x > 1 \ge \sin x$.

Vậy $\sin x < x$ với mọi $x > 0$

* Với mọi $x<0$, áp dụng chứng minh trên ta có:

$\sin \left( { - x} \right) <  - x \Rightarrow  - \sin x <  - x \Rightarrow \sin x > x$

Vậy $\sin x > x$ với mọi $x<0$.

b) Hàm số $g\left( x \right) = \cos x + {{{x^2}} \over {2 - 1}}$ liên tục trên $\left[ {0; + \infty } \right)$ và có đạo hàm $g’\left( x \right) = x - \sin x$

Theo câu a) $g’\left( x \right) > 0$ với mọi $x>0$ nên hàm số g đồng biến trên $\left[ {0; + \infty } \right)$, khi đó ta có

$g\left( x \right) > g\left( 0 \right) = 0$ với mọi $x>0$, tức là $\cos x + {{{x^2}} \over 2} - 1 > 0$ với mọi $x>0$

hay $\cos x > 1 - {{{x^2}} \over 2}$ với mọi $x>0$ (1)

Với mọi x0 nên theo (1) ta có:

$\cos \left( { - x} \right) > 1 - {{{{\left( { - x} \right)}^2}} \over 2}\, \Leftrightarrow \cos x > 1 - \,{{{x^2}} \over 2}$ với mọi $x$

Từ (1) và (2) suy ra: $\cos x > 1 - \,{{{x^2}} \over 2}$ với mọi $x \ne 0$.

c) Hàm số $h\left( x \right) = \sin x - x + {{{x^3}} \over 6}$ có đạo hàm $h'(x) = \cos x - 1 + {{{x^2}} \over 2} > 0$ với mọi $x \ne 0$ (câu b)

Do đó $h$ đồng biến trên $\mathbb R$ nên ta có:

$h\left( x \right) > h\left( 0 \right) = 0,\forall x > 0$ và $h\left( x \right) < h\left( 0 \right) = 0,\forall x < 0$

Từ đó suy ra: $\sin x > x - {{{x^3}} \over 6}$ với mọi $x>0$

$\sin x < x - {{{x^3}} \over 6}$với mọi $x<0$