Bài 9 trang 9 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Hướng dẫn: Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng...

Bài 9. Chứng minh rằng: $\sin x + \tan x > 2x$ với mọi $x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$.

Chứng minh hàm số $f\left( x \right) = \sin x + \tan x - 2x$ đồng biến trên nửa khoảng $\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)$.

Hàm số $f\left( x \right) = \sin x + \tan x - 2x$ liên tục trên nửa khoảng $\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)$ và có đạo hàm: $f’\left( x \right) = \cos x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}\, - 2$

Vì $x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$ nên $0 < \cos x < 1 \Rightarrow \cos x > {\cos ^2}x$

$\Rightarrow \cos x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}\, - 2 > {\cos ^2}x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}\, - 2 > 0$

( vì ${\cos ^2}x + {1 \over {{{\cos }^2}x}} > 2$ với mọi $\,x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$)

Do đó $f’\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$

Suy ra hàm số $f$ đồng biến trên $\,\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)$

Khi đó ta có $f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0$ với mọi $x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$ tức là $\sin x + \tan x > 2x$ với mọi $x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$.