Advertisements (Quảng cáo)
a) Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = \tan x – x\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
b) Chứng minh rằng
\(\tan – x > x + {{{x^3}} \over 3}\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Giải
a) Hàm số f liên tục tên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và có đạo hàm
\(f'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} – 1 = {\tan ^2}x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
b) Từ a) suy ra \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\), tức là
Advertisements (Quảng cáo)
\(\tan x > x\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Xét hàm số \(g(x) = \tan x – x – {{{x^3}} \over 3}\) trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Hàm số liên tục trên \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và có đạo hàm
\(g'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} – 1 – {x^2} – {\tan ^2}x – {x^2} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
(vì \(\tan x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\). Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và \(g(x) > g(0) = 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\). Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.