Trang chủ Lớp 12 SBT Toán 12 Nâng cao Câu 1.14 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao:Chứng...

Câu 1.14 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao:Chứng minh rằng hàm số...

a) Chứng minh rằng hàm số . Câu 1.14 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao – Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số

a) Chứng minh rằng hàm số  \(f(x) = \tan x – x\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

b) Chứng minh rằng

    \(\tan  – x > x + {{{x^3}} \over 3}\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Giải

a) Hàm số f liên tục tên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và có đạo hàm

Quảng cáo

\(f'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} – 1 = {\tan ^2}x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

b) Từ a) suy ra \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\), tức là

\(\tan x > x\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Xét hàm số \(g(x) = \tan x – x – {{{x^3}} \over 3}\) trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Hàm số liên tục trên \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và có đạo hàm

\(g'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} – 1 – {x^2} – {\tan ^2}x – {x^2} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

(vì \(\tan x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\). Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và \(g(x) > g(0) = 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\). Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

Quảng cáo