a) Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = \tan x - x\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
b) Chứng minh rằng
\(\tan - x > x + {{{x^3}} \over 3}\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Giải
a) Hàm số f liên tục tên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và có đạo hàm
\(f'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 = {\tan ^2}x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Từ a) suy ra \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\), tức là
\(\tan x > x\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Xét hàm số \(g(x) = \tan x - x - {{{x^3}} \over 3}\) trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Hàm số liên tục trên \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và có đạo hàm
\(g'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 - {x^2} - {\tan ^2}x - {x^2} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
(vì \(\tan x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\). Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và \(g(x) > g(0) = 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\). Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.