Câu 1.15 trang 12 SBT Giải Tích lớp 12 nâng cao: Cho hàm số...

Cho hàm số $f(x) = {4 \over \pi }x - \tan x,x \in \left[ {0;{\pi  \over 4}} \right]$

a) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn $\left[ {0;{\pi  \over 4}} \right]$

b) Từ đó suy ra rằng: $\tan x \le {4 \over \pi }x$ với mọi $x \in \left[ {0;{\pi  \over 4}} \right]$

Giải

a) Hàm số f liên tục tên nửa khoảng $\left[ {0;{\pi  \over 4}} \right]$ và có đạo hàm

$f'(x) = {4 \over \pi } - {1 \over {{{\cos }^2}x}} = {{4 - \pi } \over \pi } - {\tan ^2}x,x \in \left( {0;{\pi  \over 4}} \right)$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \tan x = \sqrt {{{4 - \pi } \over \pi }}$

Dễ dàng thấy rằng $0 < \sqrt {{{4 - \pi } \over \pi }}  < 1 = \tan {\pi  \over 4}$. Do đó tồn tại một số duy nhất $\alpha  \in \left( {0;{\pi  \over 4}} \right)$ sao cho $\tan \alpha  = \sqrt {{{4 - \pi } \over \pi }}$

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên đoạn $\left[ {0;\alpha} \right]$ và nghịch biến trên $\left[ {\alpha ;{\pi  \over 4}} \right]$

b) Theo bảng biến thiên ta có

                                $f(x) \ge 0$ với mọi $x \in \left[ {0;{\pi  \over 4}} \right]$

Từ đó có bất đẳng thức cần chứng minh.