Trang chủ Lớp 12 SBT Toán 12 Nâng cao Câu 1.15 trang 12 SBT Giải Tích lớp 12 nâng cao: Cho...

Câu 1.15 trang 12 SBT Giải Tích lớp 12 nâng cao: Cho hàm số...

Cho hàm số . Câu 1.15 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao – Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số \(f(x) = {4 \over \pi }x – \tan x,x \in \left[ {0;{\pi  \over 4}} \right]\)

a) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;{\pi  \over 4}} \right]\)

b) Từ đó suy ra rằng: \(\tan x \le {4 \over \pi }x\) với mọi \(x \in \left[ {0;{\pi  \over 4}} \right]\)

Giải

a) Hàm số f liên tục tên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 4}} \right]\) và có đạo hàm

\(f'(x) = {4 \over \pi } – {1 \over {{{\cos }^2}x}} = {{4 – \pi } \over \pi } – {\tan ^2}x,x \in \left( {0;{\pi  \over 4}} \right)\)

Quảng cáo

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \tan x = \sqrt {{{4 – \pi } \over \pi }} \)

Dễ dàng thấy rằng \(0 < \sqrt {{{4 – \pi } \over \pi }}  < 1 = \tan {\pi  \over 4}\). Do đó tồn tại một số duy nhất \(\alpha  \in \left( {0;{\pi  \over 4}} \right)\) sao cho \(\tan \alpha  = \sqrt {{{4 – \pi } \over \pi }} \)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;\alpha} \right]\) và nghịch biến trên \(\left[ {\alpha ;{\pi  \over 4}} \right]\)

b) Theo bảng biến thiên ta có

                                \(f(x) \ge 0\) với mọi \(x \in \left[ {0;{\pi  \over 4}} \right]\)

Từ đó có bất đẳng thức cần chứng minh. 

Quảng cáo