Câu 1.13 trang 12 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Cho hàm số...

Cho hàm số $f(x) = 2\sin x + \tan x - 3x$

a) Chứng minh rằng hàm số  đồng biến trên nửa khoảng $\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)$

b) Chứng minh rằng

     $2\sin x + \tan x > 3x$ với mọi $x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$            

Giải

a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng $\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)$ , ta có

$f'(x) = 2\cos x + {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 3$

           $= {{2{{\cos }^3}x - 3\cos x + 1} \over {{{\cos }^2}x}}$

           $= {{{{(1 - cosx)}^2}(2\cos x + 1)} \over {{{\cos }^2}x}} > 0$ với mọi $x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$

Do đó hàm số f đồng biến trên nửa khoảng $\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)$

b) Từ a) suy ra $f(x) > f(0) = 0$ với mọi $x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$, tức là ta có bất đẳng thức cần chứng minh.