Câu 1.10 trang 11 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Cho hàm số...

Cho hàm số f:$\left( {{{ - \pi } \over 4};{\pi  \over 4}} \right) \to R$ xác đinh bởi

                                $f(x) = cosx{\rm{ + }}\sin x\tan {x \over 2}$

a) Tìm đạo hàm của hàm số f

b) Từ a) suy ra rằng hàm số f  là một hàm hằng trên khoảng $f:\left( {{{ - \pi } \over 4};{\pi  \over 4}} \right)$ và tìm hằng đó.

Giải

a) Ta có

 $f'(x) =  - {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  + \cos x\tan {x \over 2} + {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \over {2{{\cos }^2}{x \over 2}}}$

            $=  - {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  + \cos x\tan {x \over 2} + \tan {x \over 2}$ 

            $=  - {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  + \tan {x \over 2}(1 + \cos x)$

             $=  - {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  + {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  = 0$ với mọi x ∈ $\left( { - {\pi  \over 4};{\pi  \over 4}} \right).$

b) Từ a) suy ra rằng f là một hàm hằng trên khoảng $\left( { - {\pi  \over 4};{\pi  \over 4}} \right).$

Do đó $f(x) = f(0) = 1$ với mọi x ∈ $\left( { - {\pi  \over 4};{\pi  \over 4}} \right).$