Câu 1.12 trang 12 SBT Giải Tích lớp 12 nâng cao: Cho hàm số...

Cho hàm số $f(x) = {\sin ^2}x + cosx$

a) Chứng minh rằng hàm số  đồng biến trên đoạn $\left[ {0;{\pi  \over 3}} \right]$ và nghịch biến trên đoạn $\left[ {{\pi  \over 3};\pi } \right]$

b) Chứng minh rằng với mọi $m \in \left( { - 1;1} \right)$, phương trình

                                ${\sin ^2}x + cosx = m$

có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$

Giải

a) Hàm số liên tục trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$

Ta có:                     

$f'(x) = 2\sin x\cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x$

           $= \sin x(2\cos x - 1),x \in \left( {0;\pi } \right)$

Vì khi đó sinx > 0 nên

 $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = {\pi  \over 3}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên đoạn $\left[ {0;{\pi  \over 3}} \right]$và nghịch biến trên đoạn $\left[ {{\pi  \over 3};\pi } \right]$

b) 

+) Hàm số f liên tục trên đoạn $\left[ {0;{\pi  \over 3}} \right]$, $f\left( {{\pi  \over 3}} \right) = {5 \over 4}$ và $f(\pi) = -1$. Theo định lí về giá trị trung bình của hàm số liên tục, với  mọi $m \in \left( { - 1;1} \right) \subset \left( { - 1;{5 \over 4}} \right)$ tồn tại một số thực $c \in \left( {{\pi  \over 3};\pi } \right)$ sao cho f(c) = 0. Số c là nghiệm của phương trình trong b). Vì hàm số f  nghịch biến trên $\left[ {{\pi  \over 3};\pi } \right]$nên trên đoạn này, phương trình có một nghiệm duy nhất.

+) Vì với mọi $x \in \left( {0;{\pi  \over 3}} \right)$ ta có $1 \le f(x) \le {5 \over 4}$ nên phưng trình đã nêu không có nghiệm $m \in \left( { - 1;1} \right)$

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất thuộc $\left( {0;\pi } \right)$