Bài 96 trang 132 SGK giải tích 12 nâng cao, Giải các hệ phương trình:...

Bài 96. Giải các hệ phương trình:

$a)\,\left\{ \matrix{ {\log _2}\left( {x - y} \right) = 5 - {\log _2}\left( {x + y} \right) \hfill \cr {{\log x - \log 4} \over {\log y - \log 3}} = - 1 \hfill \cr} \right.$

$b)\,\left\{ \matrix{ 2{\log _2}x - {3^y} = 15 \hfill \cr {3^y}.{\log _2}x = 2{\log _2}x + {3^{y + 1}} \hfill \cr} \right.$

a) Điều kiện: 

$\left\{ \matrix{ x > 0;\,y > 0 \hfill \cr x - y > 0;\,x + y > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > y > 0$

$\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {\log _2}\left( {x - y} \right) = 5 - {\log _2}\left( {x + y} \right) \hfill \cr {{\log x - \log 4} \over {\log y - \log 3}} = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\log _2}\left( {x - y} \right) + {\log _2}\left( {x + y} \right) = 5 \hfill \cr \log {x \over 4} = - \log {y \over 4} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\log _2}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 5 \hfill \cr \log {{xy} \over {12}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 32 \hfill \cr xy = 12 \hfill \cr} \right. \cr}$

Giải hệ bằng phương pháp thế ta được $x = 6, y = 2$.
Vậy $S = \left\{ {\left( {6;2} \right)} \right\}$
b) Điều kiện: $x > 0$.

Ta có nghiệm phương trình:

$\left\{ \matrix{ 2u - v = 15\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr u.v = 2u + 3v\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.$

Từ (1) suy ra $v = 2u – 15$, thay vào (2) ta được:

$\eqalign{ & u\left( {2u - 15} \right) = 2u + 3\left( {2u - 15} \right) \Leftrightarrow 2{u^2} - 23u + 45 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ u = 9\,\,\,\text{ với }\,\,u = 9 \Rightarrow v = 3 \hfill \cr u = {5 \over 2}\,\,\,\text{ với }\,\,u = {5 \over 2} \Rightarrow v = - 10\,\,\left( \text{loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr}$

Vậy 

$\left\{ \matrix{ u = 9 \hfill \cr v = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \log _2^x = 9 \hfill \cr {3^y} = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {2^5} = 512 \hfill \cr y = 1 \hfill \cr} \right.$

Vậy $S = \left\{ {\left( {512;1} \right)} \right\}$