Bài tập 2 trang 100-101- Giải tích 12: Bài 1. Nguyên hàm...

Bài 2.Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

a) $f(x) = \frac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}$ ;               b) $f(x)=\frac{2^{x}-1}{e^{x}}$

c) $f(x) = \frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}$;              d) $f(x) = sin5x.cos3x$

e) $f(x) = tan^2x$                     g) $f(x) = e^{3-2x}$

h) $f(x) =\frac{1}{(1+x)(1-2x)}$ ;

: 

a) Điều kiện $x>0$. Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:

$f(x) = \frac{x+x^{\frac{1}{2}}+1}{x^{\frac{1}{3}}}$ = $x^{1-\frac{1}{3}}+ x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}+ x^{-\frac{1}{3}}$ = $x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}$

$∫f(x)dx = ∫(x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}})dx$ = $\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+ \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}$ +C

b) Ta có $f(x) = \frac{2^{x}-1}{e^{x}}$ = $(\frac{2}{e})^{x}$$-e^{-x}$

 ; do đó nguyên hàm của $f(x)$ là:

$F(x)= \frac{(\frac{2}{e})^{x}}{ln\frac{2}{e}} + e^{-x}+C$ =$\frac{2^{x}}{e^{x}(ln2 -1)}+\frac{1}{e^{x}}+C$= $\frac{2^{x}+ln2-1}{e^{x}(ln2-1)} + C$

c) Ta có $f(x) = \frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}=\frac{4}{sin^{2}2x}$

hoặc $f(x) =\frac{1}{cos^{2}x.sin^{2}x}=\frac{1}{cos^{2}x}+\frac{1}{sin^{2}x}$

Do đó nguyên hàm của $f(x)$ là $F(x)= -2cot2x + C$

d) Áp dụng công thức biến tích thành tổng:

 $f(x) =sin5xcos3x = \frac{1}{2}(sin8x +sin2x)$.

Vậy nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là

$F(x)$ = $-\frac{1}{4}$($\frac{1}{4}cos8x + cos2x) +C$

e) Ta có  $tan^{2}x = \frac{1}{cos^{2}x}-1$

vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là $F(x) = tanx - x + C$

g) Ta có  $\int {{e^{3 - 2x}}} dx =  - {1 \over 2}\int {{e^{3 - 2x}}} d(3 - 2x) =  - {1 \over 2}{e^{3 - 2x}} + C$

h) Ta có :$\int \frac{dx}{(1+x)(1-2x))}=\frac{1}{3}\int (\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1-2x})dx$

                = $\frac{1}{3}(ln\left | 1+x \right |)-ln\left | 1-2x \right |)+C$ 

                = $\frac{1}{3}ln\left | \frac{1+x}{1-2x} \right | +C$.