Bài tập 2 trang 112 - SGK Giải tích 12: Bài 2. Tích phân...

Bài 2. Tính các tích phân sau:

a) $\int_0^2 {\left| {1 - x} \right|} dx$                               b) $\int_0^{{\pi  \over 2}} s i{n^2}xdx$

c) $\int_0^{ln2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} \over {{e^x}}}} dx$                            d) $\int_0^\pi  s in2xco{s^2}xdx$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có $1 - x = 0 ⇔ x = 1$.

$\int_0^2 {\left| {1 - x} \right|} dx = \int_0^1 {\left| {1 - x} \right|} dx + \int_1^2 {\left| {1 - x} \right|} dx$

$=  - \int_0^1 {(1 - x)} d(1 - x) + \int_1^2 {(x - 1)} d(x - 1)$

$=  - {{{{(1 - x)}^2}} \over 2}|_0^1 + {{{{(x - 1)}^2}} \over 2}|_1^2 = {1 \over 2} + {1 \over 2} = 1$

b) $\int_0^{{\pi  \over 2}} s i{n^2}xdx$

$= {1 \over 2}\int_0^{{\pi  \over 2}} {(1 - cos2x)} dx$

$= {1 \over 2}\left( {x - {1 \over 2}sin2x} \right)|_0^{{\pi  \over 2}} = {\pi  \over 4}$

c) $\int_0^{ln2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} \over {{e^x}}}} dx = \int_0^{ln2} {({e^{x + 1}} + {e^{ - x}})} dx$

$= ({e^{x + 1}} - {e^{ - x}})|_0^{ln2} = e + {1 \over 2}$

d) Ta có : $sin2xcos^2x$ = ${1 \over 2}sin2x(1 + cos2x) = {1 \over 2}sin2x + {1 \over 4}sin4x$

Do đó : $\eqalign{ & \int_0^\pi s in2xco{s^2}xdx = \int_0^\pi {({1 \over 2}sin2x + {1 \over 4}sin4x)} dx \cr & = ( - {1 \over 4}cos2x - {1 \over {16}}cos4x)|_0^\pi \cr & = - {1 \over 4} - {1 \over {16}} + {1 \over 4} + {1 \over {16}} = 0 \cr}$.