Bài tập 2 trang 89 - SGK Hình học 12: Phương trình đường thẳng trong không gian...

Bài 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng 

$d$:  $\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=-3+2t & \\ z= 1+3t& \end{matrix}\right.$

lần lượt trên các mặt phẳng sau:

a) $(Oxy)$ ;

b) $(Oyz)$.

a) Xét mặt phẳng $(P)$ đi qua $d$ và $(P) ⊥ (Oxy)$, khi đó $∆ = (P)  ∩ (Oxy)$ chính là hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $(Oxy)$.

Phương trình mặt phẳng $(Oxy)$ có dạng: $z = 0$ ;  vectơ $\overrightarrow{k}$(0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của  $(Oxy)$, khi đó $\overrightarrow{k}$ và  $\overrightarrow{u}( 1 ; 2 ; 3)$ là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(P)$.

$\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{k} \right ] = (2 ; -1 ; 0)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng:

       $2(x - 2) - (y + 3) +0.(z - 1) = 0$

 hay $2x - y - 7 = 0$.

Đường thẳng hình chiếu $∆$ thỏa mãn hệ:

                                       $\left\{\begin{matrix} z=0 & \\ 2x-y-7=0.& \end{matrix}\right.$

Điểm $M_0( 4 ; 1 ; 0) ∈ ∆$ ; vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v}$ của $∆$ vuông góc với $\overrightarrow{k}$ và vuông góc với $\overrightarrow{n}$, vậy có thể lấy $\overrightarrow{v}=\left [\overrightarrow{k},\overrightarrow{n} \right ]= (1 ; 2 ; 0)$.

Phương trình tham số của hình chiếu $∆$ có dạng:

                                       $\left\{\begin{matrix} x=4+t & \\ y=1+2t& ,t\in R\\ z=0& \end{matrix}\right.$.

b) Tương tự phần a), mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $x = 0$.

 lấy $M_1( 2 ; 3 ; -1) ∈ d$ và  $M_2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d$, hình chiếu vuông góc của 

$M_1$ trên $(Oxy)$ là $M_1$$(0 ; -3 ; 1)$, hình chiếu vuông góc của $M_2$ trên $(Oyz)$ là chính nó.

Đườn thẳng $∆$ qua $M’_1, MM_2$ chính là hình chiếu vuông  góc của $d$ lên $(Oyz)$.

Ta có: $\overrightarrow{M’_{1}M_{2}}(0 ; -4 ; -6)$ // $\overrightarrow{v} (0 ; 2 ; 3)$.

Phương trình $M’_1M_2$ có dạng: 

  $\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=-3+2t&,t \in R \\ z=1+3t& \end{matrix}\right.$.