Bài 8. Giải các bất phương trình
a) \({2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448\)
b) \({\left( {0,4} \right)^x}-{\rm{ }}{\left( {2,5} \right)^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\)
c) \({\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < 1\)
d) \({\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x < - 6\)
a) \({2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448\)
Ta có:
\(⇔ {2^{2x - 3}}({2^2} + {\rm{ }}{2^1} + {\rm{ }}1){\rm{ }} \ge {\rm{ }}448\)
\(⇔ {2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}64{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} \ge {\rm{ }}6\)
\(⇔ x ≥ 4,5\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \([4,5; +∞)\).
b) \({\left( {0,4} \right)^x}-{\rm{ }}{\left( {2,5} \right)^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\)
Đặt \(t = {(0,4)}^x> 0\), bất phương trình đã cho trở thành:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& t - {{2,5} \over t} > 1,5 \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 5 > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t < - 1 \hfill \cr
t > 2,5 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Do \(t = {(0,4)}^x> 0\), bất phương trình đã cho tương đương với:
\({\left( {0,4} \right)^x} > {\rm{ }}2,5{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {0,4} \right)^x} > {\rm{ }}{\left( {0,4} \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }} - 1\)
c) \({\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < 1\)
Ta có:
\({\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < 1 \)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < {\log _3}3\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\log _{{1 \over 2}}}({x^2} - 1) > 0 = {\log _{{1 \over 2}}}1 \hfill \cr
lo{g_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1) > 3 = {\log _{{1 \over 2}}}{1 \over 8} \hfill \cr} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 < {x^2} - 1 < 1 \hfill \cr
{x^2} - 1 > {1 \over 8} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} < 2 \hfill \cr
{x^2} > {9 \over 8} \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
|x| < \sqrt 2 \hfill \cr
|x| > {3 \over {2\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {3 \over {2\sqrt 2 }} < |x|<\sqrt 2 \)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(\left\{ {x \in R:{3 \over {2\sqrt {2 < } }}<|x| < \sqrt 2 } \right\}\)
d) \({\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x < - 6\)
Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_{0,2}}x\). Bất phương trình trở thành
\({t^2}-{\rm{ }}5t{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} < {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2{\rm{ }} < {\rm{ }}t{\rm{ }} < {\rm{ }}3\)
Suy ra: (1) ⇔
\(\eqalign{
& 2 < {\log _{0,2}}x < 3 \Leftrightarrow {(0,2)^3} < x < {(0,2)^2} \cr
& \Leftrightarrow {1 \over {125}} < x < {1 \over {25}} \cr}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(({1 \over {125}},{1 \over {25}})\)