Câu 8 trang 90 SGK Giải tích 12: Giải các bất phương trình...

Bài 8. Giải các bất phương trình

a) ${2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448$

b) ${\left( {0,4} \right)^x}-{\rm{ }}{\left( {2,5} \right)^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5$

c) ${\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < 1$

d) ${\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x <  - 6$

a) ${2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448$

Ta có:

$⇔ {2^{2x - 3}}({2^2} + {\rm{ }}{2^1} + {\rm{ }}1){\rm{ }} \ge {\rm{ }}448$

$⇔ {2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}64{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} \ge {\rm{ }}6$

$⇔ x ≥ 4,5$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $[4,5; +∞)$.

b) ${\left( {0,4} \right)^x}-{\rm{ }}{\left( {2,5} \right)^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5$

Đặt $t = {(0,4)}^x> 0$, bất phương trình đã cho trở thành:

$\eqalign{ & t - {{2,5} \over t} > 1,5 \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 5 > 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t < - 1 \hfill \cr t > 2,5 \hfill \cr} \right. \cr}$

Do $t = {(0,4)}^x> 0$, bất phương trình đã cho tương đương với:

${\left( {0,4} \right)^x} > {\rm{ }}2,5{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {0,4} \right)^x} > {\rm{ }}{\left( {0,4} \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }} - 1$

c) ${\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < 1$

Ta có:

${\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < 1$
$\Leftrightarrow {\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < {\log _3}3$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\log _{{1 \over 2}}}({x^2} - 1) > 0 = {\log _{{1 \over 2}}}1 \hfill \cr lo{g_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1) > 3 = {\log _{{1 \over 2}}}{1 \over 8} \hfill \cr} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 0 < {x^2} - 1 < 1 \hfill \cr {x^2} - 1 > {1 \over 8} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} < 2 \hfill \cr {x^2} > {9 \over 8} \hfill \cr} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ |x| < \sqrt 2 \hfill \cr |x| > {3 \over {2\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {3 \over {2\sqrt 2 }} < |x|<\sqrt 2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $\left\{ {x \in R:{3 \over {2\sqrt {2 < } }}<|x| < \sqrt 2 } \right\}$

d) ${\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x <  - 6$

Đặt $t{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_{0,2}}x$. Bất phương trình trở thành

${t^2}-{\rm{ }}5t{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} < {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2{\rm{ }} < {\rm{ }}t{\rm{ }} < {\rm{ }}3$

Suy ra: (1) ⇔ 

$\eqalign{ & 2 < {\log _{0,2}}x < 3 \Leftrightarrow {(0,2)^3} < x < {(0,2)^2} \cr & \Leftrightarrow {1 \over {125}} < x < {1 \over {25}} \cr}$               

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $({1 \over {125}},{1 \over {25}})$