Câu hỏi 3 trang 106 Giải tích 12: Hãy chứng minh các tính chất 1 và 2....

Hãy chứng minh các tính chất 1 và 2.

Tính chất 1:

+) Nếu $k = 0$ thì tính chất đúng.

+) Nếu $k \ne 0$ thì $\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx}  = F\left( x \right)$ $\Rightarrow \int {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{{F\left( x \right)}}{k}$

Do đó $\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)$ và $k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = k.\left. {\dfrac{{F\left( x \right)}}{k}} \right|_a^b$ $= F\left( b \right) - F\left( a \right)$

Từ đó suy ra $\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$.

Tính chất 2:

Giả sử $F\left( x \right),G\left( x \right)$ lần lượt là các nguyên hàm của hai hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$.

Ta có: $\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx}  = \int {f\left( x \right)dx}  \pm \int {g\left( x \right)dx}$ $= F\left( x \right) \pm G\left( x \right)$

Khi đó $\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx}  = \left. {\left[ {F\left( x \right) \pm G\left( x \right)} \right]} \right|_a^b$ $= \left[ {F\left( b \right) \pm G\left( b \right)} \right] - \left[ {F\left( a \right) \pm G\left( a \right)} \right]$ $= \left[ {F\left( b \right) - F\left( a \right)} \right] \pm \left[ {G\left( b \right) - G\left( a \right)} \right]$.

Lại có $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}$ $= \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b \pm \left. {G\left( x \right)} \right|_a^b$ $= \left[ {F\left( b \right) - F\left( a \right)} \right] \pm \left[ {G\left( b \right) - G\left( a \right)} \right]$.

Từ đó ta có điều phải chứng minh.