Câu hỏi 4 trang 108 Giải tích lớp 12:...

Cho tích phân $I = \int\limits_0^1 {{{(2x + 1)}^2}} dx$

1. Tính $I$ bằng cách khai triển ${\left( {2x{\rm{ }} + 1} \right)^2}$

2. Đặt $u = 2x + 1$. Biến đổi biểu thức ${\left( {2x{\rm{ }} + 1} \right)^2}dx$ thành $g(u)du$.

3. Tính $\int\limits_{u(0)}^{u(1)} {g(u)du}$ và so sánh kết quả với $I$ trong câu 1.

1.

$\displaystyle \eqalign{ & I = \int\limits_0^1 {{{(2x + 1)}^2}} dx = \int\limits_0^1 {\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right)} dx \cr & = ({4 \over 3}{x^3} + 2{x^2} + x)|_0^1 = {{13} \over 3} \cr}$

2. Vì $u = 2x + 1$ nên $du = 2dx$. Ta có:

$\displaystyle{(2x + 1)^2}dx = {u^2}{{du} \over 2}$

3. $u(1) = 3; u(0) = 1$. Ta có:

$\displaystyle\int\limits_{u(0)}^{u(1)} {g(u)du = \int\limits_1^3 {{u^2}{{du} \over 2}} }  = {{{u^3}} \over 6}|_1^3 = {{13} \over 3}$

Vậy $\displaystyle I = {{13} \over 3}$