Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat B = 2\widehat A.\) Phân giác của góc B cắt AC tại D.
a) Tính số đo các góc của tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng DA = DB.
c) Chứng minh rằng DA = BC.
a)Ta có:
\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}(\Delta ABC\) cân tại A)
\(\widehat {ABC} = 2\widehat {BAC}(gt)\)
Nên \(\widehat {ACB} = 2\widehat {BAC}\)
Mà tam giác ABC có: \(\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {180^0}.\)
Do đó: \(\eqalign{ & \widehat {BAC} + 2\widehat {BAC} + 2\widehat {BAC} = {180^0} \cr & \Rightarrow 5\widehat {BAC} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BAC} = {{{{180}^0}} \over 5} = {36^0} \cr} \)
Do đó: \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = {2.36^0} = {72^0}.\)
b) Ta có: \(\widehat {BAD} = {{\widehat {ABC}} \over 2}(gt)\)
\(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = {{\widehat {ABC}} \over 2}\) (BD là tia phân giác của ABC)
Do đó: \(\widehat {BAD} = \widehat {ABD} = \widehat {DBC}.\)
Tam giác ADB có: \(\widehat {DAB} = \widehat {ABD} \Rightarrow \Delta ADB\) cân tại D.
Vậy DA = DB.
c) Ta có: \(\widehat {BDC} = \widehat {ABD} + \widehat {DAB}\) (góc ngoài của tam giác ABD)
Mà \(\widehat {ABD} = \widehat {DAB}\) nên \(\widehat {BDC} = 2\widehat {BAD}\)
\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 2\widehat {BAD}(\Delta ABC\) cân tại A và \(\widehat B = 2\widehat A)\)
Suy ra: \(\widehat {BDC} = \widehat {DCB} \Rightarrow \Delta BDC\) cân tại B => BD = BC.
Mà AD = BD (chứng minh trên). Do đó: BC = AD.