Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM.
a) Chứng minh rằng \(\Delta ABH = \Delta MBH.\)
b) Chứng minh rằng \(\widehat {BAC} = \widehat {BMC}.\)
c) Gọi I là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia IA lấy điểm N sao cho I là trung điểm của AN. Chứng minh rằng NC = BM.
d) Cho AB = 13 cm, AH = 12 cm, HC = 16 cm. Tính độ dài của cạnh AC, BC.
a)Xét hai tam giác ABH và MBH ta có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {MHB}( = {90^0})\)
AH = MH (H là trung điểm của AM)
BH là cạnh chung.
Do đó: \(\Delta ABH = \Delta MBH(c.g.c)\)
b) Ta có: \(\Delta ABH = \Delta MBH\) (chứng minh câu a)
Suy ra: AB = MB và \(\widehat {ABH} = \widehat {MBH}.\)
Xét hai tam giác ABC và MBC ta có:
BC là cạnh chung
\(\widehat {ABC} = \widehat {MBC}(cmt)\)
AB = BM (chứng minh trên)
Do đó: \(\Delta ABC = \Delta MBC(c.g.c) \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {BMC}.\)
c) Xét tam giác ABI và NCI ta có:
AI = NI (I là trung điểm của AN)
\(\widehat {AIB} = \widehat {CIN}\) (hai góc đối đỉnh)
BI = CI (I là trung điểm của BC)
Do đó: \(\Delta ABI = \Delta NCI(c.g.c) \Rightarrow AB = CN.\)
Mà AB = BM (chứng minh câu b) nên CN = BM.
d) Tam giác ABH vuông tại H \(\Rightarrow B{H^2} + A{H^2} = A{B^2}\) (định lí Pythagore)
\(B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {13^2} - {12^2} = 169 - 144 = 25.\)
Mà BH > 0. Do đó: \(BH = \sqrt {25} = 5(cm).\)
Tam giác AHC vuông tại H \(\Rightarrow A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\) (định lí Pythagore)
Do đó: \(A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} = {12^2} + {16^2} = 400.\)
Mà AC > 0 nên \(AC = \sqrt {400} = 20(cm)\)
Mặt khác BC = BH + HC = 5 + 16 = 21 (cm).