Bài tập 7 trang 120 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 2, Chứng minh rằng Trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền....

Chứng minh rằng : Trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD

Xét ∆ABM và ∆MCD ta có:

BM = MC (M là trung điểm của BC)

AM = MD (cách vẽ)

Và $\widehat {AMB} = \widehat {CMD}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ∆ABM = ∆DCM (c.g.c) $\Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {MDC}$

Mà $\widehat {BAM}$ và$\widehat {MDC}$ ở vị trí so le trong. Do đó AB // CD.

Ta có AB // CD, $AB \bot AC$ (∆ABC vuông tại A) $\Rightarrow CD \bot AC \Rightarrow \widehat {ACD} = 90^\circ$

Xét ∆ACD và ∆ABC ta có: CD = AB (vì ∆DCM = ABM)

$\widehat {ACD} = \widehat {BAC}( = 90^\circ )$

AC là cạnh chung

Do đó: ∆ACD = ∆CAB (c.g.c) => AD = BC

Mà $AM = {1 \over 2}AD(MA = MD)$. Do đó $AM = {1 \over 2}BC.$