Bài 11 trang 92 SBT Toán 8 - Cánh diều: Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat C = \widehat D$ và $AD = BC$...

Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat C = \widehat D$ và $AD = BC$. Chứng minh tứ giác $ABCD$ là hình thang cân.

Dựa vào tính chất của hình thang cân:

Trong một hình thang cân

- Hai cạnh bên bằng nhau

- Hai đường chéo bằng nhau.

Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BC$

Do $\widehat C = \widehat D$ nên tam giác $ICD$ cân tại $I$. Suy ra $ID = IC$

Mà $AD = BC$, suy ra $IA = IB$. Do đó, tam giác $IAB$ cân tại $I$.

Vì hai tam giác $IAB$ và $ICD$ đều cân tại $I$ nên

$\widehat {IAB} = \widehat D$ (cùng bằng $\frac{{180^\circ - \widehat I}}{2}$)

Mà $\widehat {IAB}$ và $\widehat D$ nằm ở vị trí đồng vị, suy ra $AB//CD$

Tứ giác $ABCD$ có $AB//CD$ và $\widehat C = \widehat D$ nên $ABCD$ là hình thang cân.