Bài 20 trang 14 SBT Toán 8 - Cánh diều: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau...

Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a) $A = 4{x^2} - 4x + 23$

b) $B = 25{x^2} + {y^2} + 10x - 4y + 2$

Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức.

a) Ta có:

$A = 4{x^2} - 4x + 23 = \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + 22 = {\left( {2x - 1} \right)^2} + 22$

Mà ${\left( {2x - 1} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x$, suy ra ${\left( {2x - 1} \right)^2} + 22 \ge 22$ với mọi $x$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $22$ khi $2x - 1 = 0$ hay $x = \frac{1}{2}$.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}B = 25{x^2} + {y^2} + 10x - 4y + 2 = \left( {25{x^2} + 10x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) - 3\\ = {\left( {5x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 3\end{array}$

Mà ${\left( {5x + 1} \right)^2} \ge 0;{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x$ và $y$, suy ra ${\left( {5x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 3 \ge - 3$ với mọi $x$ và $y$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $B$ là -3 khi $5x + 1 = 0$ và $y - 2 = 0$ hay $x = - \frac{1}{5}$ và $y = 2$.