Câu 56 trang 98 SBT Toán 8 tập 2: Chứng minh rằng AK và CM là các trung tuyến của tam giác...

Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC; hai đoạn thẳng AK và CM cắt nhau tại điểm P. Biết rằng AP = 2 PK và CP = 2PM.

Chứng minh rằng AK và CM là các trung tuyến của tam giác ABC.

Giải:

(hình trang 121 sgbt)

Xét ∆ PAC và ∆ PKM, ta có:

${{PK} \over {PA}} = {1 \over 2};{{PM} \over {PC}} = {1 \over 2}$

Suy ra: ${{PK} \over {PA}} = {{PM} \over {PC}} = {1 \over 2}$

Lại có: $\widehat {APC} = \widehat {KPM}$  (đối đỉnh)

Suy ra: ∆ PKM đồng dạng ∆ PAC (c.g.c) với tỉ số đồng dạng k = ${1 \over 2}$

Suy ra: ${{KM} \over {AC}} = {1 \over 2}$                          (1)

Vì ∆ PKM đồng dạng ∆ PAC nên:

$\widehat {PKM} = \widehat {PAC}$

Suy ra: KM // AC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Trong tam giác ABC, ta có: KM // AC

Suy ra: ∆ BMK đồng dạng ∆ BAC (g.g)

Suy ra: ${{BM} \over {BA}} = {{BK} \over {BC}} = {{MK} \over {AC}}$     (2)

Từ (1) và (2) suy ra : ${{BM} \over {BA}} = {{BK} \over {BC}} = {1 \over 2}$

Vì BM = ${1 \over 2}$ BA nên M lừ trung điểm AB

Vì BK = ${1 \over 2}$ BC nên K là trung điểm của BC.

Vậy BK và CM là đường trung tuyến của tam giác ABC.