Advertisements (Quảng cáo)
Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC; hai đoạn thẳng AK và CM cắt nhau tại điểm P. Biết rằng AP = 2 PK và CP = 2PM.
Chứng minh rằng AK và CM là các trung tuyến của tam giác ABC.
Giải:
(hình trang 121 sgbt)
Xét ∆ PAC và ∆ PKM, ta có:
\({{PK} \over {PA}} = {1 \over 2};{{PM} \over {PC}} = {1 \over 2}\)
Suy ra: \({{PK} \over {PA}} = {{PM} \over {PC}} = {1 \over 2}\)
Lại có: \(\widehat {APC} = \widehat {KPM}\) (đối đỉnh)
Suy ra: ∆ PKM đồng dạng ∆ PAC (c.g.c) với tỉ số đồng dạng k = \({1 \over 2}\)
Suy ra: \({{KM} \over {AC}} = {1 \over 2}\) (1)
Vì ∆ PKM đồng dạng ∆ PAC nên:
\(\widehat {PKM} = \widehat {PAC}\)
Suy ra: KM // AC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
Trong tam giác ABC, ta có: KM // AC
Suy ra: ∆ BMK đồng dạng ∆ BAC (g.g)
Suy ra: \({{BM} \over {BA}} = {{BK} \over {BC}} = {{MK} \over {AC}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : \({{BM} \over {BA}} = {{BK} \over {BC}} = {1 \over 2}\)
Vì BM = \({1 \over 2}\) BA nên M lừ trung điểm AB
Vì BK = \({1 \over 2}\) BC nên K là trung điểm của BC.
Vậy BK và CM là đường trung tuyến của tam giác ABC.