Advertisements (Quảng cáo)
Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AM vuông góc với BC, AN vuông góc với CD(M thuộc BC và N thuộc CD). Chứng minh rằng tam giác MAN đồng dạng với tam giác ABC.
Giải:
(hình trang 122, 123 sgbt)
Trường hợp góc B nhọn :
Xét ∆ AMB và ∆ AND, ta có:
\(\widehat {AMB} = \widehat {AND} = 90^\circ \)
\(\widehat B = \widehat D\) (tính chất hình bình hành)
Suy ra: ∆ AMB đồng dạng ∆ AND (g.g)
Suy ra:
\(\eqalign{ & {{AM} \over {AN}} = {{AB} \over {AD}} \cr & \Rightarrow {{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {AD}} \cr} \)
Mà AD = BC (tính chất hình bình hành)
Suy ra: \({{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}\)
Lại có: AB // CD (gt)
AN ⊥ CD (gt)
Suy ra: AN ⊥ AB hay góc NAB = 90°
Suy ra: \(\widehat {NAM} + \widehat {MAB} = 90^\circ \) (1)
Trong tam giác vuông AMB ta có: \(\widehat {ABM} = 90^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {MAB} + \widehat B = 90^\circ \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : \(\widehat {NAM} = \widehat B\)
Xét ∆ ABC và ∆ MAN, ta có:
\({{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}\) (chứng minh trên )
Advertisements (Quảng cáo)
(chứng minh trên )
Vậy ∆ ABC đồng dạng ∆ MAN (c.g.c)
Trường hợp góc B tù:
Xét ∆ AMB và ∆ AND, ta có:
\(\widehat {AMB} = \widehat {AND} = 90^\circ \)
\(\widehat {ABM} = \widehat {ADN}\) (vì cùng bằng góc C)
Suy ra: ∆ AMB đồng dạng ∆ AND (g.g)
Suy ra: \({{AM} \over {AN}} = {{AB} \over {AD}} \Rightarrow {{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {AD}}\)
Mà AD = BC (tính chất hình bình hành )
Suy ra: \({{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}\)
Vì AB // CD nên \(\widehat {ABC} + \widehat C = 180^\circ \) (3)
Tứ giác AMCN có \(\widehat {AMC} = \widehat {AND} = 90^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {MAN} + \widehat C = 180^\circ \) (4)
Từ (3) và (4) suy ra : \(\widehat {MAN} = \widehat {ABC}\)
Xét ∆ AMN và ∆ ABC, ta có:
\({{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}\) (chứng minh trên )
\(\widehat {MAN} = \widehat {ABC}\) (chứng minh trên )
Vậy ∆ MAN đồng dạng ∆ ABC (c.g.c)