Câu 57 trang 98 Sách bài tập Toán 8 tập 2: Chứng minh rằng tam giác MAN đồng dạng với tam giác...

Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AM vuông góc với BC, AN vuông góc với CD(M thuộc BC và N thuộc CD). Chứng minh rằng tam giác MAN đồng dạng với tam giác ABC.

Giải:

(hình trang 122, 123 sgbt)

Trường hợp góc B nhọn :

Xét ∆ AMB và ∆ AND, ta có:

$\widehat {AMB} = \widehat {AND} = 90^\circ$

$\widehat B = \widehat D$ (tính chất hình bình hành)

Suy ra: ∆ AMB đồng dạng ∆ AND (g.g)

Suy ra:

  $\eqalign{  & {{AM} \over {AN}} = {{AB} \over {AD}}  \cr  &  \Rightarrow {{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {AD}} \cr}$

Mà AD = BC (tính chất hình bình hành)

Suy ra: ${{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}$

Lại có: AB // CD (gt)

AN ⊥ CD (gt)

Suy ra: AN ⊥ AB hay góc NAB = 90°

Suy ra: $\widehat {NAM} + \widehat {MAB} = 90^\circ$   (1)

Trong tam giác vuông AMB ta có: $\widehat {ABM} = 90^\circ$

Suy ra: $\widehat {MAB} + \widehat B = 90^\circ$               (2)

Từ (1) và (2) suy ra : $\widehat {NAM} = \widehat B$

Xét ∆ ABC và ∆ MAN, ta có:

${{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}$  (chứng minh trên )

(chứng minh trên )

Vậy ∆ ABC đồng dạng ∆ MAN (c.g.c)

Trường hợp góc B tù:

Xét ∆ AMB và ∆ AND, ta có:

$\widehat {AMB} = \widehat {AND} = 90^\circ$

$\widehat {ABM} = \widehat {ADN}$ (vì cùng bằng góc C)

Suy ra: ∆ AMB đồng dạng ∆ AND (g.g)

Suy ra: ${{AM} \over {AN}} = {{AB} \over {AD}} \Rightarrow {{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {AD}}$

Mà AD = BC (tính chất hình bình hành )

Suy ra: ${{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}$

Vì AB // CD nên $\widehat {ABC} + \widehat C = 180^\circ$                 (3)

Tứ giác AMCN có $\widehat {AMC} = \widehat {AND} = 90^\circ$

 Suy ra: $\widehat {MAN} + \widehat C = 180^\circ$                              (4)

Từ (3) và (4) suy ra : $\widehat {MAN} = \widehat {ABC}$

Xét ∆ AMN và ∆ ABC, ta có:

${{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}$ (chứng minh trên )

 $\widehat {MAN} = \widehat {ABC}$ (chứng minh trên )

Vậy ∆ MAN đồng dạng ∆ ABC (c.g.c)