Bài tập 10 trang 134 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, E và F là giao điểm của AK và CI với BD....

Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, E và F là giao điểm của AK và CI với BD.

a) Chứng minh tứ giác AKCI là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng DE = EF = FB.

c) Chứng minh ba đường AC, IK, EF đồng quy.

a) Ta có:

$AI = {1 \over 2}AB$ (I là trung điểm của AB),

$CK = {1 \over 2}CD$ (K là trung điểm của CD)

Và $AB = CD$ (ABCD là hình bình hành)

$\Rightarrow AI = CK$

Mà AI // CK $(AB // CD, I \in AB,\,\,K \in CD)$

Do đó tứ giác AICK là hình bình hành.

b) $\Delta ABE$ có I là trung điểm của AB và $IF // AE$

Nên F là trung điểm của EB $\Rightarrow BF = EF\,\,\left( 1 \right)$

$\Delta DCF$ có EK // FC và K là trung điểm của CD

Nên E là trung điểm của DF $\Rightarrow DE = EF\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $DE = EF = BF$.

c) Gọi H là giao điểm của AC và BD (3)

$\Rightarrow H$ là trung điểm của AC (ABCD là hình bình hành)

Hình bình hành AICK có H là trung điểm của AC nên H là trung điểm của IK.

$\Rightarrow IK$ đi qua H (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow AC,IK,EF$ đồng quy tại H.