Bài tập 24 trang 136 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho hình 68. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình thoi....

Cho hình 68. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình thoi.

E, F lần lượt là trung điểm của AB và BC

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow EF//AC$ và $EF = {1 \over 2}AC\,\,\,\left( 1 \right)$

H, G lần lượt là trung điểm của AD và DC

$\Rightarrow HG$ là đường trung bình của tam giác ACD

$\Rightarrow HG//AC$ và $HG = {1 \over 2}AC$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow EF//HG$ và $EF = HG$.

Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành.

Tứ giác ABCD có $AB = CD$ và $AD = BC \Rightarrow$ Tứ giác ABCD là hình bình hành.

Mà $\widehat {BAD} = {90^0} \Rightarrow ABCD$ là hình chữ nhật.

Xét $\Delta EBF$ và $\Delta CGF$ có :

$\eqalign{  & EB = EC\,\,\left( {gt} \right)  \cr  & BF = FC\,\,\left( {gt} \right)  \cr  & \widehat {EBF} = \widehat {GCF}\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)  \cr  &  \Rightarrow \Delta EBF = \Delta GCF\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow EF = GF \cr}$

Chứng minh tương tự ta có $GF = GH,\,\,GH = EF \Rightarrow EF = GF = GH = EH$

Do đó tứ giác EFGH là hình thoi.