Bài tập 6 trang 140 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Gọi I là trung điểm của BC....

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Gọi I là trung điểm của BC.

a) Tính AI.

b) Gọi M là điểm đối xứng của A qua I. Chứng minh rằng tứ giác ABMC là hình chữ nhật.

c) Gọi E là trung điểm của AI, P là trung điểm của IC, Q là trung điểm của MB. Chứng minh rằng tứ giác BQPE là hình bình hành.

d) Chứng minh rằng $BE \bot AP$.

a) $\Delta ABC$ vuông tại A có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$  (định lí Pytago)

$\Rightarrow B{C^2} = 36 + 64 \Rightarrow B{C^2} = 100 = {10^2} \Rightarrow BC = 10\,\,\left( {cm} \right)$

$\Delta ABC$ vuông tại A có AI là đường trung tuyến) (I là trung điểm của BC)

$\eqalign{  &  \Rightarrow AI = BI = IC = {{BC} \over 2}  \cr  &  \Rightarrow AI = BI = IC = {{10} \over 2} = 5\,\,\left( {cm} \right) \cr}$

b) Tứ giác ABMC có BC cắt AM tại I (gt)

I là trung điểm của BC (gt);

I là trung điểm của AM (M đối xứng với A qua I)

Do đó tứ giác ABMC là hình bình hành.

Mà $\widehat {BAC} = {90^0}\,\,(\Delta ABC$ vuông tại A) nên tứ giác ABMC là hình chữ nhật.

c) E, P lần lượt là trung điểm của AI và IC (gt)

$\Rightarrow EP$ là đường trung bình của tam giác AIC $\Rightarrow EP//AC$ và $EP = {1 \over 2}AC$.

Ta có $BQ = {1 \over 2}BM$ (Q là trung điểm của BM),

$EP = {1 \over 2}AC$ (cmt) và $BM = AC$ (ABMC là hình chữ nhật) $\Rightarrow BQ = EP$.

Tứ giác BQPE có $BQ = EP$ và $BQ//EP$ (cùng song song với AC)

Do đó tứ giác BQPE là hình bình hành.

d) Ta có $EP//AC$  (câu c) và $AC \bot AB$ ($\Delta ABC$ vuông tại A) $\Rightarrow EP \bot AC$.