Bài tập 9 trang 134 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tái phân giác của góc B cắt CD ở F....

Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tái phân giác của góc B cắt CD ở F.

a) Chứng minh rằng DE // BF.

b) Tứ giác DEBF là hình gì ?

c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, BD và EF đồng quy.

a) Ta có $\widehat {ABC} = \widehat {ADC}$ (tứ giác ABCD là hình bình hành)

$\widehat {ABF} = \widehat {{{ABC} \over 2}}$ (BF là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ ) và $\widehat {CDE} = {{\widehat {ADC}} \over 2}$ (DE là tia phân giác của $\widehat {ADC}$)

$\Rightarrow \widehat {ABF} = \widehat {CDE}$

Mà $\widehat {ADE} = \widehat {CDE}$ (hai góc so le trong và AB // CD)

Nên $\widehat {ABF} = \widehat {AED}$.

Lại có $\widehat {ABF}$ và $\widehat {AED}$ là hai góc đồng vih

$\Rightarrow DE//BF$.

b) Tứ giác DEBF có DE // BF và EB // DF (AB // CD)

Do đó tứ giác DEBF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

c) Gọi I là giao điểm của AC và BD (1)

Mà AC, BD là hai đường chéo của hình bình hành ABCD

Nên I là trung điểm của AC và BD.

Hình bình hành DEBF có I là trung điểm của BD nên I là trung điểm của EF.

$\Rightarrow EF$ qua I (2)

Từ (1) và (2) ta có AC, BD và EF đồng quy tại I.