Bài 11 trang 94 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2: Từ điểm P ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại A và B. Vẽ dây cung...

Từ điểm P ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại A và B. Vẽ dây cung BC // PA. Gọi E là giao điểm thứ hai của PC với đường tròn (O) và F là giao điểm của BE và PA.

a) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng PFB và EFP, AFE và BFA.

b) Chứng minh PF = FA

a) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp g-g.

b) Từ các cặp tam giác đồng dạng ở câu a), suy ra các tỉ số đồng dạng chứa cạnh PF và FA.

a) +) Ta có $\widehat {FPE} = \widehat {ECB}$ (so le trong bằng nhau do AP // BC);

Lại có: $\widehat {EBC} = \widehat {FBP}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BE)

$\Rightarrow \widehat {FPE} = \widehat {FBP}$.

Xét $\Delta PFB$ và $\Delta EFP$ có:

$\widehat {BFP}$ chung;

$\widehat {FPE} = \widehat {FBP}\,\,\left( {cmt} \right);$

 $\Rightarrow \Delta PFB \sim \Delta EFP\,\,\left( {g.g} \right)$

+) Xét $\Delta AFE$ và $\Delta BFA$ có:

$\widehat {AFB}$ chung;

$\widehat {EAF} = \widehat {ABF}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AE)

 $\Rightarrow \Delta AFE \sim \Delta BFA\,\,\left( {g.g} \right)$

b)  $\Delta PFB \sim \Delta EFP\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{PF}}{{EF}} = \frac{{BF}}{{PF}} \Rightarrow P{F^2} = EF.BF$ (1)

$\Delta AFE \sim \Delta BFA\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{FA}}{{BF}} = \frac{{EF}}{{FA}} \Rightarrow F{A^2} = EF.BF$  (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow P{F^2} = F{A^2} \Rightarrow PF = FA$ (đpcm).