Từ điểm P ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại A và B. Vẽ dây cung BC // PA. Gọi E là giao điểm thứ hai của PC với đường tròn (O) và F là giao điểm của BE và PA.
a) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng PFB và EFP, AFE và BFA.
b) Chứng minh PF = FA
a) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp g-g.
b) Từ các cặp tam giác đồng dạng ở câu a), suy ra các tỉ số đồng dạng chứa cạnh PF và FA.
a) +) Ta có \(\widehat {FPE} = \widehat {ECB}\) (so le trong bằng nhau do AP // BC);
Lại có: \(\widehat {EBC} = \widehat {FBP}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BE)
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Rightarrow \widehat {FPE} = \widehat {FBP}\).
Xét \(\Delta PFB\) và \(\Delta EFP\) có:
\(\widehat {BFP}\) chung;
\(\widehat {FPE} = \widehat {FBP}\,\,\left( {cmt} \right);\)
\( \Rightarrow \Delta PFB \sim \Delta EFP\,\,\left( {g.g} \right)\)
+) Xét \(\Delta AFE\) và \(\Delta BFA\) có:
\(\widehat {AFB}\) chung;
\(\widehat {EAF} = \widehat {ABF}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AE)
\( \Rightarrow \Delta AFE \sim \Delta BFA\,\,\left( {g.g} \right)\)
b) \(\Delta PFB \sim \Delta EFP\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{PF}}{{EF}} = \frac{{BF}}{{PF}} \Rightarrow P{F^2} = EF.BF\) (1)
\(\Delta AFE \sim \Delta BFA\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{FA}}{{BF}} = \frac{{EF}}{{FA}} \Rightarrow F{A^2} = EF.BF\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow P{F^2} = F{A^2} \Rightarrow PF = FA\) (đpcm).