CD là một đường kính của đường tròn (O), AB là một dây cung song song với CD. Vẽ dây cung AE song song với CB, gọi F là giao điểm các đường thẳng AB và DE. Đường thẳng đi qua F song song với BC cắt đường thẳng CD tại G. Chứng minh GA tiếp xúc với đường tròn (O).
+) Gọi H là giao điểm của AC và GF.
+) Chứng minh tứ giác AFDG và CDFH là tứ giác nội tiếp.
+) Chứng minh tam giác GAC và tam giác GDA đồng dạng \( \Rightarrow \widehat {GAC} = \widehat {GDA}\).
Vì BC // FG \( \Rightarrow \widehat {DCB} = \widehat {DGF}\) (hai góc đồng vị bằng nhau).
Mà \(\widehat {DCB} = \widehat {DAB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD) \( \Rightarrow \widehat {DGF} = \widehat {DAB}\) hay \(\widehat {DGF} = \widehat {DAF}\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác AFDG là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau) \( \Rightarrow \widehat {GAD} = \widehat {GFD}\) (1) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung GD).
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi H là giao điểm của AC và GF.
Ta có: AE // FH \( \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {HFD}\) (hai góc đồng vị bằng nhau).
Mà \(\widehat {AED} + \widehat {ACD} = {180^0}\) (Tứ giác ACDE là tứ giác nội tiếp) \( \Rightarrow \widehat {HFD} + \widehat {ACD} = {180^0}\)
Lại có \(\widehat {ACD} + \widehat {ACG} = {180^0}\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {HFD} = \widehat {ACG}\) hay \(\widehat {GFD} = \widehat {ACG}\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {GAD} = \widehat {ACG}\).
Xét tam giác GAC và tam giác GDA có:
\(\widehat G\) chung;
\(\widehat {ACG} = \widehat {GAD}\,\,\left( {cmt} \right)\);
\( \Rightarrow \Delta GAC \sim \Delta GDA\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {GAC} = \widehat {GDA}\) (hai góc tương ứng).
Ta có: \(\widehat {GDA}\) là góc nội tiếp chắn cung AC).
\(\widehat {GAC}\) là góc ở vị trí tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung AC.
Lại có \(\widehat {GAC} = \widehat {GDA}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \) AG là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) hay GA tiếp xúc với đường tròn (O) (đpcm).
Baitapsgk.com