Bài 2 trang 128 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1: Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK. Chứng minh rằng...

Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK. Chứng minh rằng :

a) Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn.

b) HK < BC.

+) Sử dụng định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông chứng minh 4 điểm $B,\,\,C,\,\,H,\,\,K$ cùng thuộc một đường tròn.

+) Trong một đường tròn, mọi dây cung không đi qua tâm đều nhỏ hơn đường kính của đường tròn đó.

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$.

Xét tam giác vuông BHC có $IH = \dfrac{1}{2}BC = IB = IC\,\,\left( 1 \right)$ (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).

Xét tam giác vuông BKC có $IK = \dfrac{1}{2}BC = IB = IC\,\,\left( 1 \right)$ (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow IH = IK = IB = IC \Rightarrow$ 4 điểm $B,\,\,C,\,\,H,\,\,K$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ đường kính $BC$.

Xét đường tròn $\left( {I;\dfrac{{BC}}{2}} \right)$ ta có $BC$ là đường kính, $HK$ là dây cung không đi qua tâm.

Vậy $HK < BC$.

 Baitapsgk.com