Bài 6 trang 128 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1: Cho đường tròn tâm O, hai dây MN = PQ và hai đường thẳng MN, PQ...

Cho đường tròn tâm O, hai dây MN = PQ và hai đường thẳng MN, PQ cắt nhau tại A ở ngoài đường tròn (N nằm giữa M và A, Q nằm giữa P và A). Chứng minh AM = AP và AN = AQ.

+) Chứng minh AE = AF.

+) Cộng trừ đoạn thẳng, chú ý sử dụng định lí: Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Kẻ $OE \bot MN,\,\,OF \bot PQ$.

Do $MN = PQ\,\,\left( {gt} \right)$ $\Rightarrow OE = OF$ (trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).

Xét tam giác vuông OAE và OAF có :

$\begin{array}{l}OE = OF\,\,\left( {cmt} \right)\\OA\,\,chung\end{array}$

$\Rightarrow {\Delta _v}OAE = {\Delta _v}OAF$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow AE = AF$ (1) (2 cạnh tương ứng).

Ta có $OE \bot MN;\,\,OF \bot PQ \Rightarrow$ E, F lần lượt là trung điểm của MN và PQ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) $\Rightarrow EM = EN,\,\,FP = FQ$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AE - EN = AF - FQ\\AE + EN = AF + FQ\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AN = AQ\\AM = AP\end{array} \right.$.

 Baitapsgk.com