Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp đường tròn O. Hai đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt đường tròn O lần lượt tại K và I.
a) Chứng minh EF // IK.
b) IK cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh OA⊥PQ .
c) Tia AO cắt (O) tại D, BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
d) Tia AH cắt (O) tại M. Chứng minh AB.DC = MB.AC.
e) Chứng minh BD.AC + CD.AB = AD.BC.
a) Gọi I là trung điểm của BC.
Tam giác BCE vuông tại E nên IE=12BC=IB=IC (định kí đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Tam giác BCF vuông tại F nên IF=12BC=IB=IC (định kí đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Từ đó suy ra IB=IC=IE=IF⇒ 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
Xét đường tròn đường kính BC: ^BEF=^BCF=^BCI (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF).
Advertisements (Quảng cáo)
Xét đường tròn (O): ^BCI=^BKI (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BI).
⇒^BEF=^BKI. Mà hai góc này ở vị trí đồng vị bằng nhau ⇒EF//KI.
b) Xét đường tròn đường kính BC có ^EBF=^ECF (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF) hay ^ABK=^ACI .
Xét đường tròn (O) có (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau) ⇒AI=AK (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau).
⇒A thuộc đường trung trực của IK.
Lại có OI=OK⇒ O thuộc trung trực của IK.
⇒OA là trung trực của IK ⇒OA⊥IK hay OI⊥PQ (do P,Q∈IK)
c) Ta có ^ABD=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)⇒AB⊥BD.
Mà CH⊥AB(gt)⇒CH//BD.
^ACD=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)⇒AC⊥CD.
Mà BH⊥AC(gt)⇒BH//CD
Xét tứ giác BHCD có CH//BD;BH//CD⇒BHCD là hình bình hành (tứ giác có các cạnh cạnh đối song song).
d)