Bài 29 trang 96 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F theo thứ tự là điểm chính giữa các cung...

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F theo thứ tự là điểm chính giữa các cung AB, BC, CA. Chứng minh AE vuông góc với DF.

Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Gọi $M = AE \cap DF$. Vì $\widehat {DME}$ là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

$\Rightarrow \widehat {DME} = \dfrac{{sdcung\,DE + sdcung\,AF}}{2} = \dfrac{{sdcung\,DB + sdcung\,BE + sdcung\,AF}}{2}$

Ta có : $sdcung\,DB = \dfrac{1}{2}sdcung\,AB;\,\,sdcung\,BE = \dfrac{1}{2}sdcung\,BC;\,\,sdcung\,AF = \dfrac{1}{2}sdcung\,AC$ (gt)

$\Rightarrow \widehat {DME} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}sdcung\,AB + \dfrac{1}{2}sdcung\,BC + \dfrac{1}{2}sdcung\,AC}}{2} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {sdcung\,AB + sdcung\,BC + sdcung\,AC} \right)}}{2} = \dfrac{1}{4}{.360^0} = {90^0}$

Vậy $AE \bot DF$ (đpcm).