Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn O (A, B là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM và AB.
a) Chứng minh MA2=MO.MH .
b) Vẽ cát tuyến MCD của (O), C nằm giữa hai điểm M và D.
Chứng minh MO.MH = MC.MD
c) Gọi N là trung điểm của CD. Chứng minh NM là tia phân giác của góc ANB.
d) Tia BN cắt đường tròn O tại K. Chứng minh AK // CD.
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
b) Chứng minh tam giác MAC và MDC đồng dạng.
c) Chứng minh 5 điểm A, N, O, B, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM, sử dụng tính chất góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau, chứng minh hai góc ^ANM và ^BNM cùng bằng một số góc trung gian.
d) Chứng minh ^AKB và ^KND cùng bằng nửa số đo cung nhỏ AB của đường tròn (O).
a) Ta có MA=MB⇒M thuộc trung trực của AB
OA=OB=R⇒Othuộc trung trực của AB
⇒OM là trung trực của AB ⇒OM⊥AB tại H.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM có: MA2=MO.MH (1).
Advertisements (Quảng cáo)
b) Xét tam giác MAC và tam giác MDA có:
^AMC chung;
^MAC=^MDA (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung);
⇒ΔMAC∼ΔMDA(g.g)⇒MAMD=MCMA⇒MA2=MC.MD (2).
Từ (1) và (2) ⇒MO.MH=MC.MD.
c) Vì N là trung điểm của CD ⇒ON⊥CD (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
Ta có: ^OAM=^ONM=^OBM=900⇒A,N,B thuộc đường tròn đường kính OM.
Gọi I là trung điểm của OM ⇒ I là tâm đường tròn đường kính OM.
Xét đường tròn đường kính OM có: ^BNM=^BOM (1) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM).
^ANM=^ABM(2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM).
Ta có: ^ABM+^OBH=^OBM=900;^BOM+^OBH=900
⇒^ABM=^BOM (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒^ANM=^BNM⇒NM là tia phân giác của ^ANB.
d) Ta có ^ANM=^BNM(cmt). Mà ^BNM=^KND (đối đỉnh) ⇒^ANM=^KND.
Xét đường tròn đường kính OM ta có : ^ANM=^AOM (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM).
Mà OM là đường phân giác của ^AOB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
⇒^AOM=12^AOB⇒^ANM=12^AOB⇒^KND=12^AOB=12sdcungAB (số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn).
Xét đường tròn (O) có ^AKB=12sdcungAB (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn) ⇒^AKB=^KND.
Mà hai góc này ở vị trí so le trong ⇒AK//CD.