Bài 34 trang 96 Tài liệu dạy và học Toán 9 tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn O. Tia AO cắt BC và đường tròn O tại D và E....

Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn O. Tia AO cắt BC và đường tròn O tại D và E.

a) Chứng minh $AD \bot BC$ và EB = EC.

b) Trên cung nhỏ AC lấy điểm N sao cho AN < NC. Tia AN cắt tia BC tại M, tia NE cắt BC tại I. Chứng minh IB.IC = IE.IN và IB.MC = IC.MB.

c) Chứng minh $\widehat {AMB} = \widehat {ACN}$ .

d) Tiếp tuyến tại N của đường tròn O cắt BM tại K. Chứng minh K là trung điểm của IM.­­

a) Chứng minh $\Delta AOB = \Delta AOC$, chứng minh $AO$ là phân giác của $\widehat {BAC}$. Chúng minh $\Delta ABE = \Delta ACE$.

b) +) Chứng minh .

+) Chứng minh NE và NM lần lượt là phân giác trong và ngoài của $\widehat {BNC}$, sử dụng tính chất đường phân giác.

c) Chứng minh $\widehat {AMB};\,\,\widehat {ACN}$ cùng bằng $\widehat {AEN}$.

d) Chứng minh tam giác KIN và KMN cân tại K.

a) Xét $\Delta AOB$ và $\Delta AOC$ có:

$\begin{array}{l}AB = AC\,\,\left( {gt} \right);\\OA\,\,chung;\\OB = OC = R;\end{array}$

$\Rightarrow \Delta AOB = \Delta AOC\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OAC} \Rightarrow AO$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$.

Mà tam giác ABC cân tại A $\Rightarrow$ Phân giác AO đồng thời là đường cao $\Rightarrow AO \bot BC$.

Mà $D \in AO \Rightarrow AD \bot BC$.

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ACE$ có :

$\begin{array}{l}AB = AC\,\,\left( {gt} \right);\\AE\,\,chung\\\widehat {BAE} = \widehat {CAE}\,\,\left( {cmt} \right);\end{array}$

$\Rightarrow \Delta ABE = \Delta ACE\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow BE = CE$ (2 cạnh tương ứng).

b) +) Xét $\Delta IBE$ và $\Delta ICN$ có :

$\widehat {BIE} = \widehat {NIC}$ (đối đỉnh) ;

$\widehat {IBE} = \widehat {INC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IN) ;

$\Rightarrow \Delta IBE \sim \Delta INC\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{IB}}{{IN}} = \dfrac{{IE}}{{IC}} \Rightarrow IB.IC = IE.IN$.

+) Ta có $EB = EC\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow cung\,EB = cung\,EC$  (hai dây bằng nhau căng 2 cung bằng nhau)

$\Rightarrow \widehat {BNE} = \widehat {CNE}$ (trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau thì bằng nhau)

$\Rightarrow NE$ là tia phân giác trong của $\widehat {BNC}$.

Ta có: $\widehat {ANE} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow AN \bot NE$ hay $NM \bot NE$.

Mà NE là tia  phân giác trong của $\widehat {BNC}$ (cmt) $\Rightarrow NM$ là tia phân giác ngoài của $\widehat {BNC}$.

Áp dụng tính chất tia phân giác ta có:

$\dfrac{{NB}}{{NC}} = \dfrac{{IB}}{{IC}};\,\,\dfrac{{NB}}{{NC}} = \dfrac{{MB}}{{MC}} \Rightarrow \dfrac{{IB}}{{IC}} = \dfrac{{MB}}{{MC}} \Rightarrow IB.MC = IC.MB.$

c) Xét $\Delta ANE$ và $\Delta ADM$ có:

$\begin{array}{l}\widehat {ANE} = \widehat {ADM} = {90^0};\\\widehat {EMA}\,\,chung;\end{array}$

$\Rightarrow \Delta ANE \sim \Delta ADM\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \widehat {AEN} = \widehat {AMD}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat {AEN} = \widehat {ACN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

$\Rightarrow \widehat {ACN} = \widehat {AMD}$ (đpcm).

d) Xét $\Delta EBI$ và $\Delta ENB$ có:

$\widehat {BEN}\,\,chung;$

$\widehat {EBI} = \widehat {ENB}$ (trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau thì bằng nhau)

$\Rightarrow \Delta EBI \sim \Delta ENB\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \widehat {EIB} = \widehat {EBN}$.

Mà $\widehat {EBN} = \widehat {ENK}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung EN).

$\widehat {EIB} = \widehat {NIK}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat {NIK} = \widehat {ENK} \Rightarrow \Delta KIN$ cân tại K  $\Rightarrow KN = KI$  (1).

Xét tam giác vuông MNI có: $\widehat {NIK} + \widehat {KMN} = {90^0}$ (hai góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau)

$\widehat {ENK} + \widehat {KNM} = \widehat {INM} = {90^0}$

Mà $\widehat {NIK} = \widehat {ENK}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {KMN} = \widehat {KNM} \Rightarrow \Delta KMN$ cân tại K $\Rightarrow KM = KN$   (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow KM = KI$. Vậy K là trung điểm của IM.